人教B版(2019) 必修第四册 逆袭之路 第十一章 立体几何初步 本章小结

一、解答题

1. 难度：简单

判断下列命题的真假.

（1）四棱柱一定是平行六面体；

（2）六个面都是矩形的六面体一定是长方体；

（3）直平行六面体一定是长方体；

（4）底面是矩形的四棱柱一定是长方体.

2. 难度：简单

写出棱台中任意两个侧面的位置关系.

3. 难度：中等

已知长方体中，,求.

4. 难度：中等

已知正六棱柱底面边长为，高为，求这个正六棱柱的表面积和体积.

5. 难度：中等

已知一种螺杆可看成由六棱柱与圆柱构成的组合体，尺寸如图所示（单位：）.如果电镀一平方米用锌，则电镀100个这样的螺杆需要多少千克锌？（取为3.14，计算结果精确到0.01.）

6. 难度：简单

过正四棱台各侧棱中点的截面称为正四棱台的中截面，若正四棱台的两底面边长分别为3和5，求它的中截面的面积.

7. 难度：简单

一块扇形薄铁板的半径长是，圆心角是.用这块薄铁板围成一个圆锥筒，求圆锥筒的容积.

8. 难度：简单

已知圆锥的轴截面是正三角形，求证：它的侧面积是底面积的2倍.

9. 难度：中等

如图，在仓库一角有一堆谷，呈四分之一圆锥形,量得底面弧长为，母线长为.这堆谷重约多少千克？（谷的密度取为.）

10. 难度：中等

在球内有相距的两个平行截面，面积分别为，求此球的半径.

11. 难度：中等

海面上，地球球心角所对的大圆的圆弧长为1nmile（海里），1nmile是多少千米？（将地球看成球体，半径取为）

12. 难度：简单

已知一个圆柱上、下底面的圆周都在一个球面上，已知球的直径为10，圆柱底面的直径为6，求球和圆柱的表面积.

13. 难度：中等

如图，有一堆相同规格的六角螺帽毛坯，共重已知螺帽的底面六边形边长是，高是，内孔直径是，这一堆螺帽约有多少个？（铁的密度取为，取为3.14.）

14. 难度：简单

一条直线过平面内一点与平面外一点，它和这个平面有几个公共点？为什么？

15. 难度：中等

一条直线与两条平行直线都相交，这3条直线是否一定共面？为什么？

16. 难度：简单

怎样检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内？

17. 难度：中等

一个平面能把空间分成几个部分？两个平面呢？3个平面呢？分别画出示意图.

18. 难度：简单

3条直线两两相交，可以确定几个平面？

19. 难度：简单

用符号表示图中点、直线、平面的位置关系.

20. 难度：简单

如果与异面，与异面，则与一定异面吗？为什么？

21. 难度：简单

将下列命题改写成自然语言叙述，并判断它们的真假.

（1）如果，那么；

（2）如果，那么线段.

22. 难度：简单

判断下列命题的真假.

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）.

23. 难度：简单

如图所示正方体中，已知，求证：.

24. 难度：中等

如图，直三棱柱中，,是棱的中点，.求证：.

25. 难度：简单

一个正方体，如果它的每条棱都增加，则它的体积扩大为原来的8倍，求这个正方体的棱长.

26. 难度：中等

如图所示是一个正方体的表面展开图，则在正方体中，,这4条线段所在的直线中，是异面直线的有几对？

27. 难度：简单

侧棱长和底面边长相等的正三棱锥又称为正四面体，一个正四面体的棱长为，求这个正四面体的高.

28. 难度：简单

已知正三棱锥的侧棱两两互相垂直，且侧棱长都等于a，求这个棱锥的表面积和体积.

29. 难度：简单

有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190L，假如它的两底面边长分别等于60cm和40cm，求它的深度为多少cm？

30. 难度：简单

如图所示，已知三棱台的上、下底面都是等腰直角三角形，面ABC, ,求这个三棱台的全面积.

31. 难度：简单

求正三棱柱的内切圆柱和外接圆柱的体积比（以正棱柱两个底面的内切圆面为底面的圆柱称为正棱柱的内切圆柱，以正棱柱两个底面的外接圆面为底面的圆柱称为正棱柱的外接圆柱）.

32. 难度：简单

已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，求这个圆锥的侧面积和体积.

33. 难度：简单

已知一个等边三角形的边长为a，这个等边三角形绕其一边所在的直线旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积.

二、单选题

34. 难度：简单

我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积,求其直径的一个近似公式,人们还用过一些类似的近似公式,根据判断,下列近似公式中最精确的一个是（    ）

A. B. C. D.

三、解答题

35. 难度：中等

已知球的半径为2，一平面截球面所得圆的圆心为，且都是圆上的点，，求的面积.

36. 难度：中等

一个圆台的母线长为20，母线与轴的夹角为，上底面的半径为15，求圆台的高和下底面的面积.

37. 难度：简单

已知是球上的三点，，球的半径等于13，求球心到面的距离.

38. 难度：中等

已知是球表面上的点，面,，求球的表面积.

39. 难度：中等

已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，求球的半径.

40. 难度：简单

已知点是球表面上的点，面，四边形是边长为的正方形.若，求的面积.

41. 难度：简单

已知是球的球面上两点，，为球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36，求球的表面积.

42. 难度：中等

判断下列命题的真假.

（1）若，则；

（2）若，则；

（3）若，则；

（4）若，则.

43. 难度：简单

判断下列命题的真假.

（1）如果直线上有两个不同的点不在平面内，且到平面的距离相等，则；

（2）如果直线上有3个不同的点不在平面内，且到平面的距离相等，则.

44. 难度：简单

如图所示的一块木料中，面,为面内一点，现要用经过和棱的一个平面将木料锯开，该如何画线？

45. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为的中点．证明：直线平面.

46. 难度：中等

如图，四面体被一平面所截，截面与4条棱相交于4点，且截面是一个平行四边形.

（1）求证：；

（2）求证：面.

47. 难度：中等

如图，在四棱锥中，面，且，是的中点，求证：面面.

48. 难度：简单

球面上是否存在共线的3个点？为什么？

49. 难度：中等

我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，求该处的平地降雨量（盆中积水体积与盆口面积之比）.

四、填空题

50. 难度：困难

一个正方体内接于一个球（即正方体的8个顶点都在球面上），过球心作一截面，则截面的图形可能是_______.

五、解答题

51. 难度：中等

如图所示四面体中，分别是的中点，若，，求证：面.

六、单选题

52. 难度：简单

设是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是

A.若与共面，则与共面

B.若与是异面直线，则与是异面直线

C.若==，则

D.若==，则=

七、解答题

53. 难度：简单

平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，判断动点的轨迹并说明理由.

54. 难度：中等

已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两相互垂直，求球心到截面的距离.

55. 难度：中等

已知球的直径，是该球球面上的两点，，求棱锥的体积.

56. 难度：困难

如图，水平的广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为点.把路灯看作一个点光源，身高的女孩站在离点的点处，回答下面的问题.

（1）若女孩以为半径绕着电线杆走一个圆圈，人影扫过的是什么图形，求这个图形的面积；

（2）若女孩向点前行到达点，然后从点出发沿着以为对角线的正方形走一圈，画出女孩走一圈时头顶影子的轨迹，说明轨迹的形状.