2020届安徽省安庆市上学期高三期末数学（理科）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

若，则z在复平面内对应的点位于（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 难度：简单

已知，，，则（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

某公司的老年人、中年人、青年人的比例为，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中青年人数为100，则（    ）

A.400 B.200 C.150 D.300

5. 难度：简单

函数在的图象大致为（    ）

A. B.

C. D.

6. 难度：简单

在等比数列中，，，则（          ）

A. B. C. D.4

7. 难度：简单

设满足约束条件则的最小值为（          ）

A.2 B.0 C.-1 D.1

8. 难度：中等

鸡兔同笼，是中国古代著名的趣味题之一.《孙子算经》中就有这样的记载：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？设计如右图的算法来解决这个问题，则判断框中应填入的是（  ）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

已知函数的图象的相邻对称轴间的距离为，把的图象向左平移个单位长度，得到的图象，关于函数，下列说法正确的是（    ）

A.函数是奇函数 B.其图象关于直线对称

C.在上的值域为 D.在上是增函数

10. 难度：中等

鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知分别是双曲线的左、右焦点，直线l过，且l与一条渐近线平行，若到l的距离大于a，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

若存在，使得函数与的图象在这两个函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

在（的展开式中，x的系数是      ．（用数字作答）

14. 难度：简单

已知向量，的夹角为，且，，则________.

15. 难度：简单

抛物线的焦点为为抛物线上一点,若的外接圆与抛物线的准线相切(为坐标原点),且外接圆的面积为,则_________．

16. 难度：中等

已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心．若三棱锥的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径的比值为________________．

三、解答题

17. 难度：简单

的内角，，的对边分别为，，，已知，点为边的中点，且.

（1）求；

（2）若，求的面积.

18. 难度：中等

已知数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，证明：．

19. 难度：中等

如图，在三棱锥中，是边长为的正三角形，，，.

（1）证明：平面平面；

（2）点在棱上，且，求二面角的大小.

20. 难度：中等

某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为五个小组（所调查的芯片得分均在内），得到如图所示的频率分布直方图，其中．

（1）求这100颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）．

（2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。若3个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测，二测时，2个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分，手机公司将认定该芯片不合格．已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率）．每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元，试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由．

21. 难度：中等

设椭圆的离心率是，直线被椭圆C截得的弦长为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知点，斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，当的面积最大时，求直线l的方程.

22. 难度：困难

已知函数.

（1）讨论函数的极值点的个数；

（2）若有两个极值点，证明：.