上海市2018届高三上学期期中数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

不等式的解集是______.

2. 难度：简单

若是单位矩阵，则         .

3. 难度：简单

若，，且为纯虚数，则________

4. 难度：简单

已知数列为等差数列，若，则________

5. 难度：简单

若，且，在与夹角为______.

6. 难度：中等

已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是_____．

7. 难度：中等

已知是无穷等比数列，若的每一项都等于它后面所有项的倍，则实数的取值范围是______.

8. 难度：简单

函数在区间上单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是          ．

9. 难度：困难

已知角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，若函数（）的图像关于直线对称，则______.

10. 难度：中等

在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为__________．

11. 难度：困难

已知，对任意，恒有成立，且当时，，则方程在区间上所有根的和为______.

12. 难度：困难

我们把一系列向量（）按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足：，（），设表示向量与间的夹角，若，对于任意正整数n，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______.

二、单选题

13. 难度：简单

已知全集，，，则（    ）.

A. B.

C. D.

14. 难度：中等

已知等比数列的前项和是，则下列说法一定成立的是（  ）

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

15. 难度：困难

设函数,设集合，设，则为（    ）

A.20 B.18 C.16 D.14

16. 难度：困难

已知平面直角坐标系中两个定点，，如果对于常数，在函数，的图像上有且只有6个不同的点，使得成立，那么的取值范围是（   ）

A. B. C. D.

三、解答题

17. 难度：中等

已知

求的值；

求的值.

18. 难度：困难

已知数列中，是、的等差中项，且满足对任意，都有，数列的前n项和记为.

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和以及.

19. 难度：中等

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。

（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式。

（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。

20. 难度：困难

已知，函数.

（1）若函数的图像关于原点对称，求a的值；

（2）当时，解不等式；

（3）设，函数在区间内存在零点，求实数a的取值范围.

21. 难度：困难

设是数列的前n项和，对任意都有，（其中k、b、p都是常数）.

（1）当、、时，求；

（2）当、、时，若、，求数列的通项公式；

（3）若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”。当、、时，.试问：是否存在这样的“封闭数列”.使得对任意.都有，且.若存在，求数列的首项的所有取值的集合；若不存在，说明理由.