2016届上海市徐汇区高三下学期学习能力诊断理科数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

抛物线的焦点坐标是______．

2. 难度：简单

若集合，则=_______________.

3. 难度：简单

若复数z满足，其中i为虚数单位，则_____．

4. 难度：中等

求值：=________________弧度.

5. 难度：简单

试写出的展开式中系数最大的项_____．

6. 难度：中等

若最小值为a，最大值为b，则_____．

7. 难度：简单

在极坐标系中，点关于直线的对称点的坐标为________________．

8. 难度：中等

某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望等于__________（结果用最简分数表示）.

9. 难度：中等

已知平面上三点A、B、C满足，则的值等于_____．

10. 难度：中等

从集合中任取两个数，欲使取到的一个数大于，另一个数小于（其中）的概率是，则__.

11. 难度：中等

有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下“在中，角所对的边分别为，已知，__________. 求角”.经推断破损处的条件为三角形的一边的长度，且答案提示，试将条件补充完整.

12. 难度：中等

在等差数列中，首项，公差，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为       ．

13. 难度：困难

定义在R上的奇函数，当时,

则函数的所有零点之和为_____．

14. 难度：困难

对于给定的正整数和正数，若等差数列，…满足，则的最大值为___________．

二、单选题

15. 难度：简单

已知非零向量、，“函数为偶函数”是“”的（     ）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

16. 难度：简单

函数的反函数是（ ）

A. B. C. D.

17. 难度：中等

如图，圆锥形容器的高为圆锥内水面的高为且若将圆锥倒置，水面高为则等于（    ）

A. B. C. D.

18. 难度：中等

设、是关于的方程的两个不相等的实数根，那么过两点、的直线与圆的位置关系是（    ）

A.相离 B.相切 C.相交 D.随的变化而变化

三、解答题

19. 难度：中等

已知函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）将函数图像向右平移个单位后，得到函数的图像，求方程的解.

20. 难度：简单

在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设.

（1）求的值；

（2）求三棱锥的体积.

21. 难度：中等

已知函数．

（1）若不等式的解集为，求a的值；

（2）在（1）的条件下，若存在，使，求t的取值范围．

22. 难度：中等

已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆C上.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点Q作圆的两条切线，切点分别为不在坐标轴上），若直线在x轴，y轴上的截距分别为，证明：为定值；

（3）若是椭圆上不同两点，轴，圆E过，且椭圆上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆，试问：椭圆是否存在过焦点F的内切圆？若存在，求出圆心E的坐标；若不存在，请说明理由．

23. 难度：困难

设集合由满足下列两个条件的数列构成：①②存在实数使对任意正整数都成立.

（1）现在给出只有5项的有限数列其中；试判断数列是否为集合的元素；

（2）数列的前项和为且对任意正整数点在直线上，证明：数列并写出实数的取值范围；

（3）设数列且对满足条件②中的实数的最小值都有求证：数列一定是单调递增数列.