2020届福建省莆田市（第一联盟体）学年上学期高三联考文科数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设集合，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

若，则cos2α=（　  　）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

若，则是的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 难度：简单

已知等比数列满足，则的值为（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

5. 难度：中等

某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为，则图中的值为（    ）

A.2 B. C.1 D.

6. 难度：简单

已知，则满足（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

已知直线与抛物线相交于两点，是的中点，则点到抛物线准线的距离为（    ）

A. B.4 C.7 D.8

8. 难度：中等

我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，如函数的图像大致是（    ）

A. B.

C. D.

9. 难度：中等

关于函数有下述四个结论：①是周期函数；②的最小值为；③的图象关于轴对称；④在区间单调递增.其中所有正确结论的编号是（    ）

A.①② B.①③ C.②③ D.②④

10. 难度：中等

已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，与双曲线右支交于点，若，则双曲线的渐近线斜率为（    ）

A. B. C.） D.

11. 难度：中等

2019年11月18日国际射联步手枪世界杯总决赛在莆田市综合体育馆开幕，这是国际射联步手枪世界杯总决赛时隔10年再度走进中国.为了增强趣味性，并实时播报现场赛况，我校现场小记者李明和播报小记者王华设计了一套播报转码法，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密的方法是：密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数通过变换公式：，将明文转换成密文，如，即变换成，即变换成.若按上述规定，若王华收到的密文是，那么原来的明文是（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

已知对任意实数都有，，若，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知复数满足（为虚数单位），则复数__________.

14. 难度：简单

已知满足，则的取值范围是__________.

15. 难度：中等

在三棱锥中，，，点到底面的距离为，若三棱锥的外接球表面积为，则的长为__________.

16. 难度：中等

在锐角中，角所对的边分别为，点为外接圆的圆心，，且，则的最大值为__________.

三、解答题

17. 难度：简单

在中，内角所对的边分别为，已知.

（1）求；

（2）设，.若在边上，且，求的长.

18. 难度：中等

设数列的前项和为，且，为正项等比数列，且.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求的前项和.

19. 难度：中等

如图，正方形的边长为，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.

（1）证明：平面平面；

（2）若是的中点，设，且三棱锥的体积为，求的值.

20. 难度：中等

已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，离心率为，且过点.

（1）求的方程；

（2）设过点的直线交于，（异于）两点，直线的斜率分别为.若，求的值.

21. 难度：中等

已知函数.

（1）函数在处的切线过点，求的方程；

（2）若且函数有两个零点，求的最小值.

22. 难度：中等

已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设点的极坐标为.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值.

23. 难度：中等

已知函数，，且的解集为.

（1）求的值；

（2）若都为正数，且，证明：.