2020届福建省莆田市（第一联盟体）上学期高三联考理科数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

若复数满足，则（    ）

A. B.3 C.5 D.25

2. 难度：简单

设集合，则（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

在等比数列中，，则（    ）

A.6 B.7 C.8 D.15

4. 难度：中等

已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则的值为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为，则图中的值为（    ）

A.2 B. C.1 D.

6. 难度：中等

我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，如函数的图像大致是（    ）

A. B.

C. D.

7. 难度：中等

在梯形中，，，，若，则的值为（    ）

A. B. C. D.0

8. 难度：中等

设，则（    ）

A. B.

C. D.

9. 难度：困难

关于函数有下述四个结论：

①的图象关于轴对称；②在有3个零点；

③的最小值为；④在区间单调递减.

其中所有正确结论的编号是（    ）

A.①② B.①③ C.①④ D.③④

10. 难度：中等

已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，与双曲线右支交于点，若，则双曲线的渐近线斜率为（    ）

A. B. C.） D.

11. 难度：中等

2019年11月18日国际射联步手枪世界杯总决赛在莆田市综合体育馆开幕，这是国际射联步手枪世界杯总决赛时隔10年再度走进中国.为了增强趣味性，并实时播报现场赛况，我校现场小记者李明和播报小记者王华设计了一套播报转码法，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密的方法是：密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数通过变换公式：，将明文转换成密文，如，即变换成，即变换成.若按上述规定，若王华收到的密文是，那么原来的明文是（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

函数满足，若恒成立，则的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

若向量和垂直，则__________.

14. 难度：中等

已知满足，则的取值范围是__________.

15. 难度：中等

已知直线与抛物线相交于不同的两点为的中点，线段的垂直平分线交轴于点，则的长为__________.

16. 难度：困难

正方体的棱长为2，动点在对角线上，过点作垂直于的平面，记平面截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为，设.

（1）下列说法中，正确的编号为__________.

①截面多边形可能为四边形；②；③函数的图象关于对称.

（2）当时，三棱锥的外接球的表面积为__________.

三、解答题

17. 难度：中等

在中，内角所对的边分别为，已知.

（1）求；

（2）设，点在上，且，若的面积为，求的长.

18. 难度：中等

在正项数列中，已知且.

（1）证明：数列是等差数列；

（2）设的前项和为，证明：.

19. 难度：中等

如图：已知正方形的边长为，沿着对角线将折起，使到达的位置，且.

（1）证明：平面平面；

（2）若是的中点，点在线段上，且满足直线与平面所成角的正弦值为，求的值.

20. 难度：困难

已知：椭圆的右焦点为为上顶点，为坐标原点，若的面积为2，且椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线交椭圆于两点，当为的垂心时，求的面积.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，记的最小值为，证明：.

22. 难度：中等

已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设点的极坐标为.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值.

23. 难度：中等

已知函数，，且的解集为.

（1）求的值；

（2）若都为正数，且，证明：.