上海市2017-2018学年高二上学期期中数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知线性方程组的增广矩阵为    若该线性方程组的解为则实数___.

2. 难度：简单

已知，，则的单位向量是________.

3. 难度：简单

已知，，且，则______.

4. 难度：中等

若直线与的夹角为，则实数______.

5. 难度：简单

已知，则直线的倾斜角的取值范围是________

6. 难度：简单

求三阶行列式在三阶行列式中，7的代数余子式的值为______.

7. 难度：简单

______.

8. 难度：简单

已知中，，，，则________.

9. 难度：简单

已知，则______.

10. 难度：中等

如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点在大圆上，与小圆相切于点，为小圆上的点，则的取值范围是____．

11. 难度：中等

设O是直线外一点，若中任意相邻两点的距离相等，设，，用，表示，其结果为______.

12. 难度：中等

已知是边长为的正三角形，为外接圆O的一条直径，M为边上的动点，则的最大值是______.

二、

13. 难度：简单

设，，为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则与满足的关系式为（　　）

A. B. C. D.

三、单选题

14. 难度：简单

下列命题中，真命题的序号是（    ）

A.经过定点直线都可以用方程

B.不经过原点的直线都可以用方程表示；

C.过任意不同两点、的直线都可以用方程

D.经过的直线都可以用方程表示

15. 难度：中等

命题：①；

②矩阵、、

③若、不共线，且，，则；

④若三元一次方程组有，则该方程组有无穷多组解；

上述命题中正确的个数有（    ）

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

16. 难度：中等

设是平面直角坐标系中两两不同的四点,若,,且，则称调和分割.已知平面上的点调和分割点，则下列说法正确的是

A.可能线段的中点

B.可能线段的中点

C.可能同时在线段上

D.不可能同时在线段的延长线上

四、解答题

17. 难度：简单

已知直线的方程为，直线的方程为，分别满足下列条件时，求出a的取值范围.

（1）与相交

（2）与平行

18. 难度：中等

已知数列是首项为a公比为q（）的等比数列，其前n项和为，求的值.

19. 难度：中等

平面内给定三个向量，，，回答下列问题：

（1）求满足的实数m，n

（2）若与的夹角为锐角，求出实数k的取值范围

20. 难度：中等

已知点，，，分别是基本单位向量.

（1）若点P是直线的动点，且，求点P的坐标

（2）若点满足且，，是否存在自然数解，若存在，求出所有的自然数的解，若不存在，说明理由.

21. 难度：困难

出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创立的.在出租车几何学中，点还是形如的有序实数对，直线还是满足的所有组成的图形，角度大小的定义也和原来一样，对于直角坐标系内任意两点、定义它们之间的一种“距离”（“直角距离”）：，请解决以下问题：

（1）求线段（，）上一点到原点的“距离”；

（2）求所有到定点的“距离”均为2的动点围成的图形的周长；

（3）在“欧式几何学”中有如下三个与“距离”有关的正确结论：

①平面上任意三点A，B，C，；

②平面上不在一直线上任意三点A，B，C，若，则是以为直角三角形

③平面上存在两个不同的定点A，B，若动点P满足，则动点P的轨迹是的垂直平分线

上述结论对于“出租车几何学”中的直角距离是否还正确，并说明理由.