2020届甘肃省河西五市高三第一次联合考试数学理科试卷

一、单选题

1. 难度：中等

已知集合，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

若，，则的值为（   ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

已知等比数列满足，则的值为（   ）

A.1 B.2 C. D.

4. 难度：简单

已知，“函数有零点”是“函数在上是减函数”的（    ）．

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件

5. 难度：简单

已知，，，则，，的大小关系是

A. B. C. D.

6. 难度：中等

已知函数在处取得最大值，则函数的图象

A.关于点对称 B.关于点对称

C.关于直线对称 D.关于直线对称

7. 难度：中等

已知不等式的解集为，则二项式展开式的常数项是（   ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

如图所示的三视图表示的几何体的体积为，则该几何体的外接球的表面积为

A. B. C. D.

9. 难度：简单

被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则（  ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

已知点在抛物线上，且为第一象限的点，过作轴的垂线，垂足为，为该抛物线的焦点，，则直线的斜率为（   ）

A. B. C.-1 D.-2

11. 难度：中等

为双曲线右焦点，为双曲线上的点，四边形为平行四边形，且四边形的面积为，则双曲线的离心率为（     ）

A.2 B. C. D.

12. 难度：困难

设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（   ）

A. B.

C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知为偶函数，当时，，则__________．

14. 难度：简单

已知是数列的前项和，且，则数列的通项公式为_____．

15. 难度：简单

在直角梯形中，，，则向量在向量上的投影为_______.

16. 难度：困难

已知四边形为矩形, ,为的中点,将沿折起,得到四棱锥,设的中点为,在翻折过程中,得到如下有三个命题:

①平面，且的长度为定值；

②三棱锥的最大体积为；

③在翻折过程中，存在某个位置，使得.

其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号）

三、解答题

17. 难度：中等

在中，角，，所对的边分别为，，，且的面积为.

（1）求的值；

（2）若，求周长的最大值.

18. 难度：中等

如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，底面，，，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.

19. 难度：中等

2018年1月26日，甘肃省人民政府办公厅发布《甘肃省关于餐饮业质量安全提升工程的实施意见》，卫生部对16所大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估.满10分者为“安全食堂”，评分7分以下的为“待改革食堂”.评分在4分以下考虑为“取缔食堂”，所有大学食堂的评分在7~10分之间，以下表格记录了它们的评分情况：

（1）现从16所大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个评分不低于9分的概率；

（2）以这16所大学食堂评分数据估计大学食堂的经营性质，若从全国的大学食堂任选3个，记表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求的分布列及数学期望.

20. 难度：困难

设椭圆的右焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .

（1）求椭圆的方程;

（2）若上存在两点，椭圆上存在两个点满足：三点共线，三点共线，且，求四边形的面积的最小值.

21. 难度：中等

已知函数的导函数为.

（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；

（2）若的两个零点从小到大依次为，，证明：.

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数),在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点

（1）求曲线、的直角坐标方程；

（2）若点在曲线上的两个点且，求的值.

23. 难度：中等

己知，函数.

（1）若，解不等式；

（2）若函数，且存在使得成立，求实数的取值范围.