上海市2017-2018学年高二上学期期中数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

原点到直线的距离为______

2. 难度：简单

己知的增广矩阵是，则此方程组的解是________.

3. 难度：简单

直线的方向向量________（写出一个即可）

4. 难度：简单

已知，，则______

5. 难度：简单

若三条直线，和相交于一点，则行列式的值为________

6. 难度：简单

若点分有向线段所成的比为，则点分有向线段所成的比是________.

7. 难度：简单

直线的倾斜角是________

8. 难度：简单

直线经过点A（2，1），B（1，m²）两点（m∈R），那么直线l的倾斜角取值范围是         .

9. 难度：简单

已知向量，，，且、、三点共线，则_______

10. 难度：中等

设、、是三个内角、、所对应的边，且，那么直线与直线的位置关系是________

11. 难度：中等

若矩阵满足：，，，且，则这样互不相等的矩阵共有________个

12. 难度：中等

已知平面上三个不同的单位向量、、满足，若为平面内任意单位向量，则的最大值为_______

二、单选题

13. 难度：简单

某人在超市一次性购买了斤大米和斤食用油，大米的价格是元／斤，食用油的价格是元／斤，则购买这两种商品的总花费可以用下列各式计算得到的是（    ）

A. B.

C. D.

14. 难度：中等

当时，下列关于方程组的判断，正确的是（    ）

A.方程组有唯一解 B.方程有唯一解或无穷多解

C.方程无解或无穷多解 D.方程组有唯一解或无解

15. 难度：简单

下列有关平面向量分解定理的四个命题：

（1）一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；

（2）一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；

（3）平面向量的基向量可能互相垂直；

（4）一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合.

其中正确命题的个数是（    ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

16. 难度：中等

已知的内角、、的对边分别为、、，为内一点，若分别满足下列四个条件：

①；

②；

③；

④；

则点分别为的（   ）

A.外心、内心、垂心、重心 B.内心、外心、垂心、重心

C.垂心、内心、重心、外心 D.内心、垂心、外心、重心

三、解答题

17. 难度：简单

已知、、三点.

（1）求经过点且与平行的直线的点方向式方程；

（2）求经过点且与垂直的直线的斜截式方程.

18. 难度：中等

已知，，且与的夹角为，求：

（1）在上的投影；

（2）；

（3） 与的夹角.

19. 难度：简单

直线过点且被两平行线：和：截得的线段为2.

（1）求两平行线之间的距离；

（2）求直线与两平行线的夹角；

（3）求直线的方程.

20. 难度：困难

在中，为直角，，，与相交于点，，.

（1）试用、表示向量；

（2）在线段上取一点，在线段上取一点，使得直线过，设，，求的值；

（3）若，过作线段，使得为的中点，且，求的取值范围.

21. 难度：困难

如图，已知城市周边有两个小镇、，其中乡镇位于城市的正东方处，乡镇与城市相距，与夹角的正切值为2，为方便交通，现准备建设一条经过城市的公路，使乡镇和分别位于的两侧，过和建设两条垂直的公路和，分别与公路交汇于、两点，以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.

（1）当两个交汇点、重合，试确定此时路段长度；

（2）当，计算此时两个交汇点、到城市的距离之比；

（3）若要求两个交汇点、的距离不超过，求正切值的取值范围.