江苏省常州市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

如果，，那么（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

在等差数列中，已知，，则（    ）

A.5 B.6 C.7 D.8

3. 难度：简单

经过点的抛物线的标准方程为（   ）

A. B.

C.或 D.无法确定

4. 难度：简单

命题“，”的否定是（ ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

5. 难度：简单

椭圆的左，右顶点分别是，左，右焦点分别是，若成等比数列，则此椭圆的离心率为

A. B. C. D.

6. 难度：简单

在下列函数中，最小值为2的是（    ）

A.（且） B.

C. D.

7. 难度：中等

已知空间向量，，则“”是“”的（   ）

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

8. 难度：简单

若，，且，，则下列说法中正确的是（    ）

A.当且仅当时取得最小值

B.当且仅当时取得最大值

C.当且仅当为定值时取得最小值

D.当且仅当为定值且时取得最大值

9. 难度：中等

《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为：（   ）

A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺

10. 难度：简单

已知离心率为的双曲线：的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于、两点．若的面积为2，则实数的值为（    ）

A.2 B. C.4 D.8

11. 难度：中等

如图，在三棱锥中，，平面，，，点、分别为，的中点，点在线段上．若，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

已知为椭圆：的右焦点，点，，为椭圆上三点，当时，称为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（    ）

A.0个 B.1个 C.3个 D.无数个

二、填空题

13. 难度：中等

不等式的解集是______

14. 难度：简单

已知正数，满足，则的最小值为_______．

15. 难度：简单

若数列的通项公式为，数列满足 ，则数列的前10项和为_______．

16. 难度：简单

点为椭圆上一点，、分别是圆和上的动点，则的取值范围是_______．

三、解答题

17. 难度：简单

已知：，：，其中．

（1）求使得为真命题的实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

18. 难度：中等

已知数列的前项和为，且是与2的等差中项．数列中，，点在直线上．

（1）求和的值；

（2）求数列，的通项公式；

（3）设，求数列的前项和．

19. 难度：简单

如图，两铁路线垂直相交于站，若已知千米，甲火车从站出发，沿方向以千米小时的速度行驶，同时乙火车从站出发，沿方向，以千米小时的速度行驶，至站即停止前行（甲车扔继续行驶）（两车的车长忽略不计）.

（1）求甲、乙两车的最近距离（用含的式子表示）；

（2）若甲、乙两车开始行驶到甲，乙两车相距最近时所用时间为小时，问为何值时最大？

20. 难度：中等

如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，．

（1）求二面角的正弦值；

（2）点是线段的中点，点为线段上点，若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．

21. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为6.

（1）求椭圆的方程.

（2）过椭圆左顶点的两条斜率之积为的直线分别与椭圆交于点.试问直线是否过某定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.

22. 难度：中等

已知数列中，，是数列的前项和，且．

（1）求，，并求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，若 对任意的正整数都成立，求实数的取值范围．