上海市普陀区2016届高三上学期调研（文科）数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

集合　                   ．

2. 难度：简单

函数f（x）=x²﹣1（x≤﹣1）的反函数f^﹣1（x）=______.

3. 难度：简单

函数y=2﹣sin²ωx的最小正周期为π，则实数ω的值为______.

4. 难度：简单

已知数列{a_n}的前n项的和（a∈R）.则a₈=______.

5. 难度：简单

若，且α是第二象限的角.则=______.

6. 难度：简单

若不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是            ．

7. 难度：简单

已知圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为6的扇形.则该圆锥的体积为______.

8. 难度：简单

函数，当n=1，2，3，…时，f_n（x）的零点依次记作x₁，x₂，x₃，…，则=______.

9. 难度：简单

设f（x）=ax²+2x﹣3，g（x）=x²+（1﹣a）x﹣a，M={x|f（x）≤0}，P={x|g（x）≥0}.若M∩P=R，则实数a的取值集合为______.

10. 难度：中等

不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的取值范围为        ．

11. 难度：简单

如果用反证法证明“数列{a_n}的各项均小于2”，有下列四种不同的假设：①数列{a_n}的各项均大于2；②数列{a_n}的各项均大于或等于2；③数列{a_n}中存在一项a_k，a_k≥2；④数列{a_n}中存在一项a_k，a_k＞2；其中正确的序号为______.（填写出所有假设正确的序号）

12. 难度：简单

已知全集U={n|1≤n≤2015，n∈N^*}，集合A、B都是U的子集，且A∪B=U，A∩B≠∅，若A∩_UB={1，2}，则满足条件的集合B∩_UA的个数是______.

13. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则△ABC的最小角等于______.

14. 难度：中等

若定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数都有，则称函数f(x)为“Z函数”．给出下列四个函数：

①y=－x³+1，②y=2^x，③，④，

其中“Z函数”对应的序号为________________.

二、单选题

15. 难度：简单

在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波.若两个声波随时间的变化规律分别为：，则这两个声波合成后（即y=y₁+y₂）的声波的振幅为（　　）

A. B.6 C. D.3

16. 难度：中等

异面直线、分别在平面、内，若，则直线必定是（    ）

A.分别与、相交 B.与、都不相交

C.至少与、中之一相交 D.至多与、中之一相交

17. 难度：简单

函数y=2^|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b=g（a）的图象可以是（　　）

A. B.

C. D.

18. 难度：困难

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，在同一个坐标系中，a_n=f（n）及S_n=g（n）的部分图象如图所示，则（　　）

A.当n=4时，S_n取得最大值 B.当n=3时，S_n取得最大值

C.当n=4时，S_n取得最小值 D.当n=3时，S_n取得最大值

三、解答题

19. 难度：中等

在直三棱柱A₁B₁C₁﹣ABC中，AC⊥BC，D、E分别为AB、AC中点.

（1）求证：DE∥面BCC₁B₁；

（2）若CB=1，，.求异面直线A₁E和CD所成角的大小.

20. 难度：简单

已知函数的部分图像如图所示．、分别是图像上的一个最高点和最低点，为图像与轴的交点，且四边形为矩形．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）将的图像向右平移个单位长度后，得到函数的图像．已知，，求的值．

21. 难度：困难

日照一中为了落实“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．

（1）试用x表示S，并求S的取值范围；

（2）若在矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪．已知：矩形AMPN健身场地每平方米的造价为，草坪的每平方米的造价为（k为正常数）．设总造价T关于S的函数为T=f（S），试问：如何选取|AM|的长，才能使总造价T最低．

22. 难度：中等

已知函数，（a，b∈R）为奇函数.

（1）求b值；

（2）当a=﹣2时，存在x₀∈[1，4]使得不等式f（x₀）≤t成立，求实数t的取值范围；

（3）当a≥1时，求证：函数g（x）=f（2^x）﹣c（c∈R）在区间（﹣∞，﹣1]上至多有一个零点.

23. 难度：困难

已知数列{a_n}、{b_n}满足：a₁=，a_n+b_n=1，b_n+1=.

（1）求a₂，a₃；

（2）证数列为等差数列，并求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

（3）设S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1，求实数λ为何值时4λS_n＜b_n恒成立.