2020届辽宁省盘锦市高三上学期期末数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

复数是的共轭复数，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知全集，集合，则等于（     ）

A. B. C. D.

3. 难度：中等

2019年是中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年.为了迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动.下面的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是（    ）

A.甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数 B.甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数

C.甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数 D.甲组选手得分的方差大于乙组选手的的方差

4. 难度：简单

设为等差数列的前项和，已知，，则（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

已知直线是函数的一条对称轴，则（   ）

A.

B. 在上单调递增

C. 由的图象向左平移个单位可得到的图象

D. 由的图象向左平移个单位可得到的图象

6. 难度：简单

平面向量与的夹角为，，，则（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

使命题：，为假命题的一个充分不必要条件为（     ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）

A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312

9. 难度：中等

如图所示是某多面体的三视图，图中小方格单位长度为1，则该多面体的侧面最大面积为（   ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

已知直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的离心率为

A.  B.  C. 2 D.

11. 难度：中等

中，,,,为线段上任意一点，则的取值范围是（     ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为（    ）

A.7 B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知函数在处的切线与直线平行，则的展开式中常数项为__________；

14. 难度：中等

已知点在轴上，点是抛物线的焦点，直线与抛物线交于，  两点，若点为线段的中点，且，则__________．

15. 难度：中等

在中，角所对的边为，若，则当取最大值时，__________；

16. 难度：中等

《九章算术》是我国古代数学经典名著，其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其意为：今有－圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该木材，锯口深一寸，锯道长－尺.问这块圆柱形木材的直径是多少？现有长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌在墙体中的体积约为__________立方寸.（结果保留整数）

注：l丈＝10尺＝100寸，，.

三、解答题

17. 难度：中等

如图，四棱锥中，，，，为正三角形，且.

（1）证明：直线平面；

（2）若四棱锥的体积为，是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.

18. 难度：中等

已知数列的前n项和为，且.             

（1）求数列的通项.

（2）设，求数列的前n项和.

19. 难度：中等

自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：

	20以下	[20，30）	[30，40）	[40，50）	[50，60）	[60，70]	70以上
使用人数	3	12	17	6	4	2	0
未使用人数	0	0	3	14	36	3	0

（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30，50）且未使用自由购的概率；

（2）从被抽取的年龄在[50，70]使用的自由购顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，求这2人年龄都在[50，60）的概率；

（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？

20. 难度：中等

已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆相交于点两点，问轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

21. 难度：困难

已知，函数

(1)讨论函数的单调性；

(2)若是的极值点，且曲线在两点，处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截距分别为、，求的取值范围.

22. 难度：中等

已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，曲线C：(α为参数)，在以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线l：ρ.

(Ⅰ)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(Ⅱ)曲线C上恰好存在三个不同的点到直线l的距离相等，分别求出这三个点的极坐标．

23. 难度：简单

已知函数．

(1)当时,有解,求实数b的取值范围；

(2)若的解集包含,求实数a的取值范围．