江西省抚州市2019-2020学年高二上学期期末数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

某社区有600个家庭,其中高收入家庭120户,中等收入家庭420户,低收入家庭60户.为调查社会购买力的某项指标,要从中抽取一个容量为100户的样本,记作①;某学校高中二年级有15名男篮球运动员,要从中选出3人调查学习负担情况,记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是(　　)

A.①简单随机抽样　②系统抽样

B.①分层抽样    ②简单随机抽样

C.①系统抽样    ②分层抽样

D.①分层抽样    ②系统抽样

2. 难度：简单

某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( ).

A. 90 B. 75 C. 60 D. 45

3. 难度：简单

假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用（万元），有如下的统计资料：

	1	2	3	4	5
	5	6	7	8	10

由资料可知对呈线性相关关系，且线性回归方程为，请估计使用年限为20年时，维修费用约为（    ）

A.26.2 B.27 C.27.6 D.28.2

4. 难度：简单

如下图，该程序运行后输出的结果为（ ）

A.7 B.15 C.31 D.63

5. 难度：简单

命题“若，则”的否命题为（    ）

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

6. 难度：简单

已如向量，且与互相垂直，则   

A.  B.  C.  D.

7. 难度：简单

已知5件产品中有2件次品，其余3件为合格品.现从这5件产品中任取2件，至少有一件次品的概率为（    ）

A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.8

8. 难度：中等

已知椭圆（）的左右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得，则这椭圆的离心率的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

设向量，若，则的概率为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

已知过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于，两点，且，则直线的方程为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：困难

如图，在正四棱柱中， 是侧面内的动点，且记与平面所成的角为，则的最大值为

A. B. C. D.

12. 难度：困难

已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为（   ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知空间单位向量，，两两互相垂直，且，则______.

14. 难度：中等

如图是某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是     ．

15. 难度：中等

椭圆：的左焦点为，直线与椭圆交于，两点.当的周长最大时，则的值等于______.

16. 难度：困难

已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面底面，且，则该四棱锥的外接球的表面积为______.

三、解答题

17. 难度：中等

已知命题：关于的不等式无解；命题：指数函数是上的增函数.

（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（2）若满足为假命题且为真命题的实数取值范围是集合，集合，且，求实数的取值范围.

18. 难度：中等

已知椭圆经过两点，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知直线与椭圆交于，，且已知线段的中点为，求直线的方程.

19. 难度：中等

如图，已知四棱锥的底面为棱形，且面，，，，且，分别为，的中点.

（1）求证：面；

（2）求二面角的余弦值.

20. 难度：简单

某乐园按时段收费，收费标准为：每玩一次不超过小时收费10元，超过小时的部分每小时收费元（不足小时的部分按小时计算）．现有甲、乙二人参与但都不超过小时，甲、乙二人在每个时段离场是等可能的．为吸引顾客，每个顾客可以参加一次抽奖活动．

(1) 用表示甲乙玩都不超过小时的付费情况，求甲、乙二人付费之和为44元的概率；

(2)抽奖活动的规则是：顾客通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数，并按如右所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该顾客中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求顾客中奖的概率．

21. 难度：中等

已知三棱锥（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形为边长为的正方形，，均为正三角形，在三棱锥中.

（1）求证：平面平面；

（2）若点在棱上，满足，，点在棱上，且，求得取值范围.

22. 难度：困难

已知椭圆（）的左右焦点分别为，，已知其离心率为，且过点.

（1）求椭圆的标准方程.

（2）设，是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点，探究是否为定值？如果为定值，请求出该定值；如果不为定值，请说明理由.