人教A版(2019) 必修第二册 逆袭之路 第六章 6.4 平面向量的应用 小结

一、单选题

1. 难度：中等

在中，已知向量与满足且，则是(    )

A.三边均不相同的三角形 B.直角三角形

C.等腰非等边三角形 D.等边三角形

2. 难度：困难

已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( )

（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）

A.重心外心垂心 B.重心外心内心

C.外心重心垂心 D.外心重心内心

二、解答题

3. 难度：简单

用向量法证明：直径所对的圆周角是直角.

4. 难度：简单

两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为.

（1）写出此时粒子B相对粒子A的位移；

（2）计算在上的投影向量.

5. 难度：简单

一个人在静水中游泳时，速度的大小为.当他在水流速度的大小为的河中游泳时，

（1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进（角度精确到1°）？实际前进速度的大小为多少？

（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进（角度精确到1°）？实际前进速度的大小为多少？

6. 难度：简单

在中，分别根据下列条件解三角形（角度精确到1°，边长精确到）：

（1）；

（2）

7. 难度：简单

在中，分别根据下列条件解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）：

（1）；

（2）.

8. 难度：中等

如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D. 现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高.

9. 难度：中等

在气象台A正西方向处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响？如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长（精确到）？

10. 难度：简单

你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗？

11. 难度：简单

已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标.

12. 难度：中等

如图，在中，已知，BC，AC边上的两条中线AM，BM相交于点P，求的余弦值.

13. 难度：简单

一条河的两岸平行，河的宽度，一般船从河岸边的A处出发到河对岸.已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.如果要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论：

（1）当船逆流行驶，与水流成钝角时；

（2）当船顺流行驶，与水流成锐角时；

（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.

请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间，判断是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时所用时间最短.

14. 难度：简单

一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行速度的大小.

15. 难度：简单

的三边分别为a，b，c，边BC，CA，AB上的中线分别记为，利用余弦定理证明，，

16. 难度：简单

在中，求证：.

17. 难度：中等

证明：设三角形的外接圆的半径是R，则.

18. 难度：简单

证明三角形的面积公式.

19. 难度：中等

如图，平行四边形ABCD中，点E,F分别是AD,DC边的中点，BE,BF分别与AC交于R,T两点，你能发现AR,RT,TC之间的关系吗？

20. 难度：中等

已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，求证：

（1）三角形的面积；

（2）若r为三角形的内切圈半径，则；

（3）把边BC，AC，AB上的高分别记为,则，，.

21. 难度：中等

为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.

22. 难度：中等

已知，，分别为三个内角，，的对边，．

（）求．

（）若，的面积为，求，．