2020届陕西省咸阳市高三上学期期末考试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知集合，，则中元素的个数为（    ）

A.3 B.2 C.1 D.0

3. 难度：简单

在平面直角坐标系中，为坐标原点，，若绕点逆时针旋转得到向量，则（    ）

A. B.

C. D.

4. 难度：简单

已知，则（    ）

A. B.

C. D.

5. 难度：简单

椭圆的一个焦点坐标为，则实数（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

的内角的对边分别为，若既是等差数列又是等比数列，则角的值为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

如图，直三棱柱中，，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

函数，在中随机取一个数，使的概率为（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

已知，则的最小值为（    ）

A.10 B.9 C.8 D.7

10. 难度：中等

已知曲线，，则下面结论正确的是（    ）

A.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线

B.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线

C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

D.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

11. 难度：中等

设为上的奇函数，满足，且当时，，则(    )

A. B.

C. D.

12. 难度：中等

已知双曲线的两个焦点分别为,，以为直径的圆交双曲线于,,,四点，且四边形为正方形，则双曲线的离心率为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

曲线在点处的切线的方程为__________．

14. 难度：简单

已知， 则____________，____________.

15. 难度：简单

如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 试写出的一个“同域函数”的解析式为____________.

16. 难度：简单

秦九韶是我国古代的数学家，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就. 秦九韶算法是一种将一元次多项式的求值问题转化为个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法.

改写成以下形式：

若

则____________.

三、解答题

17. 难度：中等

如图，长方体中，是的中点，.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

18. 难度：中等

甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为，且各人是否答对每道题互不影响.

（Ⅰ）用表示甲同学答对题目的个数，求随机变量的分布列和数学期望；

（Ⅱ）设为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件发生的概率.

19. 难度：中等

已知数列的前项和为，且满足.

（Ⅰ）求证：数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的前项和.

20. 难度：中等

已知，.

（Ⅰ）和的导函数分别为和，令，判断在上零点个数；

（Ⅱ）当时，证明.

21. 难度：困难

如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于不同两点，为拋物线上任意一点（与不重合），直线分别交抛物线的准线于点.

（Ⅰ）写出焦点的坐标和准线的方程；

（Ⅱ）求证：.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线的参数方程（为参数）.直线的参数方程（为参数）.

（Ⅰ）求曲线在直角坐标系中的普通方程；

（Ⅱ）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线截直线所得线段的中点极坐标为时，求直线的倾斜角.

23. 难度：中等

已知函数.

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若时，，求的取值范围.