上海市2017-2018学年高三上学期期中数学试卷

一、解答题

1. 难度：困难

已知数列中，，，的前项和为，且满足（）.

（1）试求数列的通项公式；

（2）令，是的前项和，证明：；

（3）证明：对任意给定的，均存在，使得时，（2）中的恒成立.

二、填空题

2. 难度：简单

设全集，集合，则__________．

3. 难度：简单

已知复数满足，则的取值范围是__________．

4. 难度：简单

已知圆心角是2弧度的扇形面积为，则扇形的周长为________

5. 难度：简单

若的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则=__________．

6. 难度：中等

己知，则________.

7. 难度：简单

把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为__________．（结果用最简分数表示）

8. 难度：中等

若行列式中元素4的代数余子式的值为，则实数的取值集合为__________．

9. 难度：简单

设数列的前项和为，若，则__________．

10. 难度：中等

已知函数.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是__________．

11. 难度：简单

若体积为的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为   （结果保留）．

12. 难度：中等

如图，在中，为上不同于的任意一点，点满足，若,则的最小值为________

13. 难度：困难

设单调函数的定义域为，值域为，如果单调函数使得函数的值域也是，则称函数是函数的一个“保值域函数”．已知定义域为的函数，函数与互为反函数，且是的一个“保值域函数”，是的一个“保值域函数”，则__________．

三、单选题

14. 难度：简单

“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件 B.充要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

15. 难度：简单

《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为立方尺，由此估算出堆放的米约有（    ）

A.斛 B.斛

C.斛 D.斛

16. 难度：困难

将函数的图象按向量平移，得到的函数图象与函数的图象的所有交点的横坐标之和等于（    ）

A.2 B.4 C.6 D.8

17. 难度：中等

如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别是，，动点从点出发沿着圆弧按的路线运动（其中五点共线），记点运动的路程为，设,与的函数关系为，则的大致图象是（ ）

A. B. C. D.

四、解答题

18. 难度：中等

如图：在四棱锥中，平面，底面是正方形，.

（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）求点、分别是棱和的中点，求证：平面.

19. 难度：中等

已知函数是偶函数.

（1）求实数的值；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

20. 难度：中等

如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的点处，乙船在中间点处，丙船在最后面的点处，且.一架无人机在空中的点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得，.（船只与无人机的大小及其他因素忽略不计）

（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；

（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离.（精确到1米）

21. 难度：困难

已知两动圆和（），把它们的公共点的轨迹记为曲线，若曲线与轴的正半轴的交点为，且曲线上的相异两点满足：.

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标；

（3）求面积的最大值.