上海市十三校2016届高三下学期3月联考（理）数学试卷

一、填空题

1. 难度：中等

若行列式，则         .

2. 难度：简单

二项式展开式的常数项为_________.

3. 难度：简单

焦点在轴上，焦距为，且经过的椭圆的标准方程为_______.

4. 难度：简单

若集合，集合，则_____.

5. 难度：简单

在中，，，，则          ．

6. 难度：中等

从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.

7. 难度：简单

若不等式对任意都成立，则实数的取值范围为_______

8. 难度：简单

已知平面直角系中，曲线的参数方程为，现以直角坐标系的原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线的极坐标方程是__________.

9. 难度：中等

已知正方体的棱长为，点为棱的中点，则点到平面的距离为__________.

10. 难度：困难

设函数的零点为、，函数的零点为、，则的值为_______.

11. 难度：困难

对于数列满足： ，其前项和为记满足条件的所有数列中，的最大值为，最小值为，则___________

12. 难度：中等

定义在上的奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为_________.

13. 难度：中等

已知正四面体，点、、、、、分别是所在棱的中点，如图，则当，，且时，数量积的不同数值的个数为________

14. 难度：困难

设函数的定义域为，记，，若，,且,则的取值范围是___________________.

二、单选题

15. 难度：简单

二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是　　

A.系数行列式

B.比例式

C.向量不平行

D.直线，不平行

16. 难度：简单

设为两个随机事件，如果为互斥事件，那么（    ）.

A.是必然事件. B.是必然事件.

C.与是互斥事件. D.与不是互斥事件.

17. 难度：简单

将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为

A.26, 16, 8, B.25，17，8

C.25，16，9 D.24，17，9

18. 难度：中等

记点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能是 （ ）

A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.直线

三、解答题

19. 难度：简单

用铁皮制作一个容积为的无盖圆锥形容器，如图.若圆锥的母线与底面所成的角为，求制作该容器需要多少面积的铁皮.（铁皮衔接部分忽略不计,结果精确到）

20. 难度：困难

已知复数，为虚数单位，.

（1）若为实数，求的值；

（2）若复数对应的向量分别是，存在使等式成立，求实数的取值范围.

21. 难度：困难

已知是等差数列，，，数列满足，，且是等比数列.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和，并判断是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

22. 难度：困难

已知抛物线，为抛物线上的点，若直线经过点且斜率为，则称直线为点的“特征直线”.设、为方程（）的两个实根，记.

（1）求点的“特征直线”的方程；

（2）已知点在抛物线上，点的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与轴的交于点，点为线段上的点.求证：；

（3）已知、是抛物线上异于原点的两个不同的点，点、的“特征直线”分别为、，直线、相交于点，且与轴分别交于点、.求证：点在线段上的充要条件为（其中为点的横坐标）.

23. 难度：困难

已知表示不小于的最小整数，例如.

（1）设,,若，求实数的取值范围；

（2）设，在区间上的值域为，集合中元素的个数为，求证：；

（3）设（），，若对于，都有，求实数的取值范围.