2016届上海市（长宁、宝山、嘉定、青浦）四区高三4月质量调研测试（二模）（文）数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

设集合，，则__．

2. 难度：简单

已知为虚数单位，复数满足，则__．

3. 难度：简单

设且，若函数的反函数的图象经过定点，则点的坐标是__．

4. 难度：简单

计算：__．

5. 难度：简单

在平面直角坐标系内，直线：，将与两坐标轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得几何体的体积为__．

6. 难度：简单

已知，，则______.

7. 难度：简单

定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集是__．

8. 难度：简单

在平面直角坐标系中，有一定点，若的垂直平分线过抛物线：的焦点，则抛物线的方程为__．

9. 难度：中等

已知满足约束条件，则的最大值为__________．

10. 难度：简单

已知在（为常数）的展开式中，项的系数等于，则_____________．

11. 难度：中等

从棱长为的正方体的个顶点中任取个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于的概率是______________．

12. 难度：中等

已知数列满足（），则__________．

13. 难度：简单

甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有道选择题，每题均有个选项，答对得分，答错或不答得分．甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有道题的选项不同，如果甲最终的得分为分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为____________．

14. 难度：中等

对于函数，存在一个正数，使得的定义域和值域相同.则非零实数的值为_______________.

二、单选题

15. 难度：简单

是的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

16. 难度：简单

下列命题正确的是（    ）

A.若直线平面，直线平面，则

B.若直线上有两个点到平面的距离相等，则

C.直线l与平面所成角的取值范围是

D.若直线平面，直线平面，则

17. 难度：中等

已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是( )

A.1 B.2 C. D.

18. 难度：简单

已知直线：与函数的图象交于，两点，记△的面积为（为坐标原点），则函数是（ ）

A.奇函数且在上单调递增

B.偶函数且在上单调递增

C.奇函数且在上单调递减

D.偶函数且在上单调递减

三、解答题

19. 难度：中等

如图，在直三棱柱中，底面△是等腰直角三角形，，为侧棱的中点．

（1）求证：平面；

（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

20. 难度：简单

已知函数.

（1）写出函数的最小正周期以及单调递增区间；

（2）在中，角所对的边分别为，若，且，求的值.

21. 难度：困难

定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．

（1）设，判断在上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出的所有上界的集合；若不是，也请说明理由；

（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围．

22. 难度：困难

设椭圆：（）的右焦点为，短轴的一个端点到的距离等于焦距．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设、是四条直线，所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，是椭圆上任意一点，若，求证：为定值；

（3）过点的直线与椭圆交于不同的两点、，且满足△与△的面积的比值为，求直线的方程．

23. 难度：困难

已知数列、满足：，，，．

（1）求，，，；

（2）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；

（3）设，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．