上海市2015-2016学年高二下学期期中数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

向量对应复数，则向量所对应的复数为______．

2. 难度：简单

复数（），如果z是纯虚数，那么______．

3. 难度：简单

平面的斜线与所成的角为，那么此斜线和内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为______．

4. 难度：简单

在长方体中，如果对角线与过点A的相邻三个面所成的角分别是，，，那么______．

5. 难度：中等

已知，则的最大值为_________.

6. 难度：中等

异面直线a与b所成的角为，P为空间一点，则过P点且与a，b所成的角都是的直线有______条．

7. 难度：简单

圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是_____．

8. 难度：简单

已知集合，，则集合B中的元素共有______个．

9. 难度：中等

设，是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则______．

10. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁  的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离为的点形成一条曲线，这条曲线的长度为________.

二、单选题

11. 难度：中等

下列命题中错误的是（ ）

A.过平面外一点可以作无数条直线与平面平行

B.与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行

C.若直线垂直平面内的两条相交直线，则直线必垂直平面

D.垂直于同一个平面的两条直线平行

12. 难度：简单

下列命题中，错误的是（    ）

A.圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形

B.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个

C.圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个

D.当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆

13. 难度：中等

已知复数，满足，则有（    ）

A.且 B.或

C.且 D.或

14. 难度：简单

如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的是

A.是正三棱锥

B.直线∥平面ACD

C.直线与所成的角是

D.二面角为.

三、解答题

15. 难度：简单

已知复数z₁满足(1+i)z₁=－1+5i，z₂=a－2－i， 其中i为虚数单位，a∈R， 若<|z₁|，求a的取值范围.

16. 难度：中等

如图，四棱锥中，底面是矩形，平面，，，E为的中点．

（1）求直线与平面所成角的大小；

（2）求二面角的大小，（结果用反三角函数值表示）

17. 难度：中等

如图，在正三棱锥中，，点A到底面的距离为1，E为棱的中点．

（1）求异面直线与所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）

（2）求正三棱锥的表面积．

18. 难度：中等

已知是实系数一元二次方程的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点位.

（1）若在直线上，求证：在圆:上；

（2）给定圆，则存在唯一的线段满足：

①若在圆上，则在线段上；

②若是线段上一点（非端点），则在圆上，写出线段的表达式，并说明理由；

（3）由（2）知线段与圆之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中是（1）中圆的对应线段）.

表一：

线段与线段的关系	的取值或表达式
所在直线平行于所在直线
所在直线平分线段
线段与线段长度相等