2016届上海市普陀区高三下学期质量调研（文理合卷）数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

若集合，，则=________.

2. 难度：中等

若函数的反函数为，则不等式的解集为________.

3. 难度：中等

若且是第二象限角，则_________.

4. 难度：简单

若且是第二象限角，则________.

5. 难度：简单

已知是定义在R上的奇函数，且对任意实数，恒有，则 _________.

6. 难度：简单

在的展开式中，其常数项的值为_________.

7. 难度：简单

若函数，，则函数的单调递增区间为________.

8. 难度：中等

设P是曲线为参数）上的一动点，为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹的普通方程为_____．

9. 难度：简单

设是曲线上的一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程为___________.

10. 难度：简单

在极坐标系中，为极点，若，，则△的面积为_________.

11. 难度：简单

不等式组表示的平面区域的面积等于____________.

12. 难度：简单

袋中装有只大小相同的球，编号分别为，现从该袋中随机地取出只，被取出的球中最大的号码为，则________.

13. 难度：简单

袋中装有5只大小相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，若从该袋中随机地取出3只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是__ （结果用最简分数表示）．

14. 难度：简单

若函数（），则方程的解________.

15. 难度：简单

某同学用球形模具自制棒棒糖.现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器（底面半径为，高为），共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为___________（损耗忽略不计）.

16. 难度：中等

如图所示，三个边长为的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点，记（），则________.

17. 难度：困难

设函数，记，若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围是________.

18. 难度：中等

已知，从集合中选出（,）个数，使之同时满足下面两个条件：①； ②（），则称数组为从个元素中选出个元素且限距为的组合，其组合数记为. 例如根据集合可得.给定集合，可得______.

二、单选题

19. 难度：中等

若表示两条直线，表示平面，下列命题中的真命题为（    ）

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

20. 难度：简单

过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于、两点，且这两点的横坐标之和为，则满足条件的直线（    ）

A.有且只有一条 B.有两条 C.有无穷多条 D.必不存在

21. 难度：中等

若，则“”是“”成立的（    ）条件.

A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要

22. 难度：困难

对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有.下列结论中正确的是

A.若，则

B.若且，则

C.若，则

D.若且，则

三、解答题

23. 难度：中等

在正四棱柱中，底面边长为，体积为，为的中点，证明：与是异面直线，并求出它们所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.

24. 难度：中等

在正四棱柱中，底面边长为，与底面所成的角的大小为，如果平面与底面所成的二面角是锐角，求出此二面角的大小（结果用反三角函数值）

25. 难度：中等

已知函数

（1）若，求函数的值域；

（2）设的三个内角所对的边分别为，若为锐角且，，，求的值.

26. 难度：困难

某企业参加项目生产的工人为人，平均每人每年创造利润万元.根据现实的需要，从项目中调出人参与项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润万元（），项目余下的工人每人每年创造利图需要提高

（1）若要保证项目余下的工人创造的年总利润不低于原来名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加项目从事售后服务工作？

（2）在（1）的条件下，当从项目调出的人数不能超过总人数的时，才能使得项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数的取值范围.

27. 难度：中等

已知椭圆：的中心为，一个方向向量为的直线与只有一个公共点

（1）若且点在第二象限，求点的坐标；

（2）若经过的直线与垂直，求证：点到直线的距离；

（3）若点、在椭圆上，记直线的斜率为，且为直线的一个法向量，且求的值.

28. 难度：困难

已知各项不为零的数列的前项和为，且，（）

（1）求证：数列是等差数列；

（2）设数列满足：，且，求正整数的值；

（3）若、均为正整数，且，，在数列中，，，求.