重庆市校2019-2020学年高二上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

下列函数的求导结果正确的是（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知a为实数，命题，则为（    ）

A. B.

C. D.

3. 难度：简单

双曲线的渐近线方程是（   ）

A. B. C. D.

4. 难度：中等

已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　)

A.f(b)>f(c)>f(d)

B.f(b)>f(a)>f(e)

C.f(c)>f(b)>f(a)

D.f(c)>f(e)>f(d)

5. 难度：中等

设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 难度：简单

已知抛物线的准线l过椭圆的左焦点，且l与椭圆交于P、Q两点，是椭圆的右焦点，则的周长为（    ）

A.16 B.8 C.4 D.2

7. 难度：中等

如图，在正方体中，O是正方形的中心，E、F分别为棱AB、的中点，则（    ）

A.直线EF与共面 B.

C.平面平面 D.OF与所成角为

8. 难度：简单

已知一个圆柱和圆锥等底等高，且圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则此圆锥和圆柱的表面积之比为（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，若P为线段中点，则（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

已知双曲线的右焦点为F，以F为圆心，a为半径的圆与它的一条渐近线相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，则C的离心率为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

在正四面体S-ABC中，P为侧面SBC内的动点，若点P到平面ABC的距离与到顶点S的距离相等，则动点P的轨迹为（    ）

A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分 D.圆

12. 难度：困难

如图所示，直平行六面体的所有棱长都为2，，过体对角线的截面S与棱和分别交于点E、F，给出下列命题中：

①四边形的面积最小值为；

②直线EF与平面所成角的最大值为；

③四棱锥的体积为定值；

④点到截面S的距离的最小值为.

其中，所有真命题的序号为（    ）

A.①②③ B.①③④ C.①③ D.②④

二、填空题

13. 难度：简单

设是函数的导函数，若，则________.

14. 难度：简单

设P是函数图象上的动点，则P到直线的距离的最小值为________.

15. 难度：中等

已知P是椭圆上一动点，A是C的左顶点，F是C的右焦点，则的最小值为________.

16. 难度：中等

四面体ABCD中，，二面角A-CD-B的大小为，则该四面体外接球的体积为________.

三、解答题

17. 难度：中等

如图，在四棱台中，平面底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且，E为AB的中点.

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积.

18. 难度：中等

已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且.

（1）求抛物线C的方程：

（2）过点作直线l交C于A，B两点，求面积的最小值.

19. 难度：中等

已知函数为的导函数，且.

（1）求函数在点切线方程：

（2）设函数，求函数的单调递增区间.

20. 难度：中等

已知A，B是焦距为的椭圆的上、下顶点，P是椭圆上异于顶点的任意一点，直线PA，PB的斜率之积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若C，D分别是椭圆的左、右顶点，动点M满足，连接CM交椭圆于点E，试问：x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T坐标，若不存在，请说明理由.

21. 难度：中等

如图，在直角梯形SABC中，，D为边SC上的点，且，现将沿AD折起到达的位置（折起后点S记为P），并使得.

（1）求证：平面ABCD；

（2）设，

①若点E在线段BP上，且满足，求平面EAC与平面PDC所成的锐二面角的余弦值

②设G是AD的中点，则在内（含边界）是否存在点F，使得平面PBC？若存在，确定点F的位置，若不存在，请说明理由.

22. 难度：中等

已知抛物线，过焦点F的直线l与抛物线交于S，T，且.

（1）求抛物线C的方程；

（2）设点P是x轴下方（不含x轴）一点，抛物线C上存在不同的两点A，B满足，其中为常数，且两点D，E均在C上，弦AB的中点为M.

①若点P坐标为，抛物线过点A，B的切线的交点为N，证明：点N在直线MP上；

②若直线PM交抛物线于点Q，求证；为定值（定值用表示）.