2016届上海市杨浦区高三5月模拟（三模）（理）数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

函数的反函数为________.

2. 难度：简单

若直线与垂直，则实数________.

3. 难度：简单

若（虚数单位）是实系数一元二次方程的根，则________.

4. 难度：简单

已知，，则行列式的值等于________.

5. 难度：简单

已知，，则________.

6. 难度：中等

已知地位于东经、北纬，地位于西经、北纬，则、两地的球面距离与地球半径的比值为________.

7. 难度：简单

在某次数学测验中，位学生的成绩如下：、、、、，他们的平均成绩为，则他们成绩的方差等于________.

8. 难度：中等

在极坐标系下，点到直线的距离为________.

9. 难度：中等

若展开式中各项系数的和等于，则展开式中的系数是________.

10. 难度：中等

在三行三列的方阵中有9个数2，3，，2，，从中任取3个数，则这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是________．

11. 难度：简单

把函数的图像向右平移个单位长度，所得到的图像正好关于轴对称，则的最小正值是___________.

12. 难度：困难

若两整数、除以同一个整数，所得余数相同，即，则称、对模同余，用符号表示，若，满足条件的由小到大依次记为，则数列的前项和为________.

13. 难度：中等

已知双曲线的两个焦点为、，P为该双曲线上一点，满足，P到坐标原点O的距离为d，且，则________.

14. 难度：困难

如图，已知，，，圆是以为圆心半径为1的圆，圆是以为圆心的圆．设点，分别为圆，圆上的动点，且，则的取值范围是______．

二、单选题

15. 难度：中等

已知数列的前项和（，），则“”是“数列为等比数列”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

16. 难度：中等

已知、均为复数，下列四个命题中，为真命题的是（    ）

A.

B.若，则的取值集合为（是虚数单位）

C.若，则或

D.一定是实数

17. 难度：简单

椭圆C：的左右顶点分别为，点P在C上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）

A.     B.     C.     D.

18. 难度：中等

定义域是上的连续函数图像的两个端点为、，是图像上任意一点，过点作垂直于轴的直线交线段于点（点与点可以重合），我们称的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域是上的函数中，曲径最小的是（    ）

A. B.

C. D.

三、解答题

19. 难度：中等

如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，线段和线段都是底面圆的直径，且直线与直线的夹角为，已知，．

（1）求该圆锥的体积；

（2）求证：直线平行于平面，并求直线到平面的距离．

20. 难度：中等

已知数列中， ，.

（1）设，求证：是等差数列；

（2）设数列的前项和为，求的值.

21. 难度：中等

下图是一块平行四边形园地，经测量，.拟过线段上一点 设计一条直路（点在四边形的边上，不计直路的宽度），将该园地分为面积之比为的左，右两部分分别种植不同花卉.设（单位：m）.

（1）当点与点重合时，试确定点的位置；

（2）求关于的函数关系式；

（3）试确定点的位置，使直路的长度最短.

22. 难度：困难

已知圆，线段、都是圆的弦，且与垂直且相交于坐标原点，如图所示，设△的面积为，设△的面积为.

（1）设点的横坐标为，用表示；

（2）求证：为定值；

（3）用、、、表示出，试研究是否有最小值，如果有，求出最小值，并写出此时直线的方程；若没有最小值，请说明理由.

23. 难度：困难

已知非空集合是由一些函数组成，满足如下性质：①对任意，均存在反函数，且；②对任意，方程均有解；③对任意、，若函数为定义在上的一次函数，则.

（1）若，，均在集合中，求证：函数；

（2）若函数（）在集合中，求实数的取值范围；

（3）若集合中的函数均为定义在上的一次函数，求证：存在一个实数，使得对一切，均有.