上海市2016届高三上学期期中（理科）数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

设集合，，则__________．

2. 难度：简单

已知、…是直线上的一列点，且，则这个数列的通项公式是________.

3. 难度：简单

设，向量，，若，则____．

4. 难度：简单

函数的定义域是__________.

5. 难度：简单

已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则=      .

6. 难度：简单

函数（）的反函数是________

7. 难度：简单

方程的解集为       .

8. 难度：困难

a，b是不等的两正数，若，则b的取值范围是________.

9. 难度：中等

数列中，，且，则其前项和_________．

10. 难度：简单

若向量与夹角为，，则________.

11. 难度：中等

若三个数成等差数列（其中），且成等比数列，则的值为______．

12. 难度：中等

已知菱形的边长为，，点分别在边上，，.若，则的值为         .

13. 难度：困难

已知是定义在上的奇函数，．当时，，则方程的解的个数为_________．

14. 难度：困难

已知函数，若存在满足，且，当取最小值时，的最小值为_______．

二、单选题

15. 难度：中等

定义在上的函数满足：的图像关于轴对称，并且对任意的有．则当时，有（　　）

A. B.

C. D.

16. 难度：简单

函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）

A.  B.

C.  D.

17. 难度：困难

已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个和3个排列而成，记，表示所有可能取值中的最小值，则下列命题中

（1）有5个不同的值；（2）若则与无关；（3）若，则与无关；（4）若，则；（5）若，，则与的夹角为．正确的是（　　）

A.（1）（2） B.（2）（4） C.（3）（5） D.（1）（4）

18. 难度：困难

已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，都有，则实数的取值范围为 （ ）

A.  B.  C.  D.

三、解答题

19. 难度：困难

函数是这样定义的：对于任意整数，当实数满足不等式时，有．

（1）求函数的定义域，并画出它在上的图象；

（2）若数列，记，求．

20. 难度：困难

如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（三条边，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口是的中点，分别落在线段上，已知米，米，记.

(1)试将污水净化管道的总长度（即的周长）表示为的函数，并求出定义域；

(2)问取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.

21. 难度：困难

已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称.

（1）若存在，使等式成立，求实数m的最大值和最小值

（2）若当时不等式恒成立，求a的取值范围.

22. 难度：困难

设数列的前项和为.若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”.

（1）若数列的前项和为，证明：是“数列”.

（2）设是等差数列，其首项，公差，若是“数列”，求的值；

（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立.

23. 难度：困难

定义在上的函数，如果对任意，恒有成立，则称为阶缩放函数．

（1）已知函数为二阶缩放函数，且当时，，求的值；

（2）已知函数为二阶缩放函数，且当时，，求证：函数在上无零点；

（3）已知函数为阶缩放函数，且当时， 的取值范围是，求在上的取值范围．