2016届上海市杨浦区高三上学期期末“3+1”质量调研（理）数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知矩阵，，则____________．

2. 难度：简单

已知全集，集合，则集合_____________.

3. 难度：简单

已知函数，则方程的解________

4. 难度：简单

某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具，该球表面用白布包裹，则至少需要白布_________平方米.

5. 难度：中等

等比数列的首项为，公比为q，，则首项的取值范围是____________．

6. 难度：简单

已知虚数满足，则       ．

7. 难度：中等

执行如图所示的流程图，则输出的S的值为______．

8. 难度：简单

学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人不在同一个食堂就餐的概率是_____________.

9. 难度：中等

展开式的二项式系数之和为256，则展开式中的系数为 _________

10. 难度：简单

若数a₁，a₂，a₃，a₄，a₅的标准差为2，则数3a₁﹣2，3a₂﹣2，3a₃﹣2，3a₄﹣2，3a₅﹣2的方差为     ．

11. 难度：中等

如图，在矩形OABC中，点E、F分别在线段AB、BC上，且满足AB=3AE，BC=3CF，若，则_______.

12. 难度：中等

已知，当时不等式恒成立，则实数的最大值是____________.

13. 难度：中等

抛物线的顶点为原点，焦点在轴正半轴，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于点，若中点的横坐标为3，则抛物线的方程为____________

14. 难度：中等

已知是定义在上的奇函数，当时，，当时，，若直线与函数的图象恰有11个不同的公共点，则实数的取值范围为____________.

二、单选题

15. 难度：简单

下列四个命题中，为真命题的是（    ）

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

16. 难度：简单

设是两个单位向量，其夹角为，则“”是“”的（  ）

A．充分不必要条件            B．必要不充分条件

C．充要条件                  D．既不充分也不必要条件

17. 难度：简单

对于两个平面和两条直线，下列命题中真命题是（    ）

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

18. 难度：中等

下列函数中，既是偶函数，又在 上递增的函数的个数是（     ）

①      ②    ③    ④

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

三、解答题

19. 难度：中等

如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型,先用木料搭边框,再用其他材料填充,已知金字塔的每一条棱和边都相等.

(1)求证:直线AC垂直于直线SD；

(2)若搭边框共使用木料24米，则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满?

20. 难度：中等

某农场规划将果树种在正方形的场地内.为了保护果树不被风吹，决定在果树的周围种松树. 在下图里，你可以看到规划种植果树的列数(n)，果树数量及松树数量的规律：

（1）按此规律，n = 5时果树数量及松树数量分别为多少；并写出果树数量，及松树数量关于n的表达式

（2）定义： 为增加的速度；现农场想扩大种植面积，问：哪种树增加的速度会更快？并说明理由

21. 难度：困难

如图，在一条景观道的一端有一个半径为米的圆形摩天轮O，逆时针分钟转一圈，从处进入摩天轮的座舱，垂直于地面，在距离处米处设置了一个望远镜.

（1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母亲不放心，于是约定在登上摩天轮座舱分钟后，在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜中仔细观看.问望远镜的仰角应调整为多少度？（精确到1度）

（2）在同学甲向其母亲挥手致意的同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带，发现取景的视角恰为，求绿化带的长度（精确到1米）

22. 难度：困难

如图，曲线由两个椭圆：和椭圆：组成，当成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线”.

（1）若猫眼曲线过点，且的公比为，求猫眼曲线的方程；

（2）对于题（1）中的求猫眼曲线，任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆所得弦的中点为M，交椭圆所得弦的中点为N，求证：为与无关的定值；

（3）若斜率为的直线为椭圆的切线，且交椭圆于点，为椭圆上的任意一点（点与点不重合），求面积的最大值.

23. 难度：困难

已知函数，若存在常数，对任意都有，则称函数为T倍周期函数.

（1）判断是否是T倍周期函数，并说明理由；

（2）证明是T倍周期函数，且T的值是唯一的；

（3）若是2倍周期函数，，，表示的前n项和，，若恒成立，求a的取值范围.