上海市普陀区2016届高三上学期调研（理科）数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

集合　                   ．

2. 难度：简单

函数的反函数______．

3. 难度：简单

函数y=2﹣sin²ωx的最小正周期为π，则实数ω的值为______.

4. 难度：简单

已知数列{a_n}的前n项的和（a∈R）.则a₈=______.

5. 难度：简单

若，且α是第二象限的角.则=______.

6. 难度：简单

若不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是            ．

7. 难度：简单

已知圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为6的扇形.则该圆锥的体积为______.

8. 难度：简单

函数，当n=1，2，3，…时，f_n（x）的零点依次记作x₁，x₂，x₃，…，则=______.

9. 难度：简单

设f（x）=ax²+2x﹣3，g（x）=x²+（1﹣a）x﹣a，M={x|f（x）≤0}，P={x|g（x）≥0}.若M∩P=R，则实数a的取值集合为______.

10. 难度：中等

不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的取值范围为        ．

11. 难度：简单

如果用反证法证明“数列{a_n}的各项均小于2”，有下列四种不同的假设：①数列{a_n}的各项均大于2；②数列{a_n}的各项均大于或等于2；③数列{a_n}中存在一项a_k，a_k≥2；④数列{a_n}中存在一项a_k，a_k＞2；其中正确的序号为______.（填写出所有假设正确的序号）

12. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则△ABC的最小角等于______.

13. 难度：中等

若定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数都有，则称函数f(x)为“Z函数”．给出下列四个函数：

①y=－x³+1，②y=2^x，③，④，

其中“Z函数”对应的序号为________________.

14. 难度：简单

已知等比数列的首项为，公比为，其前项和记为，又设，的所有非空子集中的最小元素的和为，则的最小正整数为_____________．

二、单选题

15. 难度：简单

在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波.若两个声波随时间的变化规律分别为：，则这两个声波合成后（即y=y₁+y₂）的声波的振幅为（　　）

A. B.6 C. D.3

16. 难度：中等

异面直线、分别在平面、内，若，则直线必定是（    ）

A.分别与、相交 B.与、都不相交

C.至少与、中之一相交 D.至多与、中之一相交

17. 难度：简单

设等差数列的前项和为，在同一个坐标系中，及的部分图象如图所示，则（    ）．

A.当时，取得最大值 B.当时，取得最大值

C.当时，取得最小值 D.当时，取得最小值

18. 难度：中等

已知函数，若存在实数，满足，且，则的取值范围是（  ）

A. B. C. D.

三、解答题

19. 难度：中等

在直三棱柱A₁B₁C₁﹣ABC中，AC⊥BC，D、E分别为AB、AC中点.

（1）求证：DE∥面BCC₁B₁；

（2）若CB=1，，.求异面直线A₁E和CD所成角的大小.

20. 难度：中等

已知函数的部分图象如图所示．、分别是图象上的一个最高点和最低点，为图象与轴的交点，且四边形为矩形．

（1）的解析式；

（2）的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象．已知，，求的值．

21. 难度：困难

日照一中为了落实“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．

（1）试用x表示S，并求S的取值范围；

（2）若在矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪．已知：矩形AMPN健身场地每平方米的造价为，草坪的每平方米的造价为（k为正常数）．设总造价T关于S的函数为T=f（S），试问：如何选取|AM|的长，才能使总造价T最低．

22. 难度：困难

已知函数，，其中，设．

（1）如果为奇函数，求实数、满足的条件；

（2）在（1）的条件下，若函数在区间上为增函数，求的取值范围；

（3）若对任意的恒有成立．证明：当时，成立．

23. 难度：困难

定义：对于数列，如果存在常数，使对任意正整数，总有成立，那么我们称数列为“﹣摆动数列”．

（1）设，，，判断数列、是否为“﹣摆动数列”，并说明理由；

（2）已知“﹣摆动数列”满足：，．求常数的值；

（3）设，，且数列的前项和为．求证：数列是“﹣摆动数列”，并求出常数的取值范围．