上海市2016届高三上学期期中数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知全集，集合，则________．

2. 难度：简单

设，，其中是虚数单位，若复数是纯虚数，则________．

3. 难度：简单

经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是________．

4. 难度：简单

中，分别是角的对边，，，，则________．

5. 难度：简单

已知数列等差数列，且，则________．

6. 难度：中等

若命题“”是真命题，则实数a的取值范围是 ________

7. 难度：简单

对任意非零实数，定义一种运算：，其结果的值由如图确定，则________．

8. 难度：简单

极坐标系中两点，，则线段的长等于________．

9. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于____

10. 难度：中等

若关于的二元一次方程组 ，至多有一组解，则实数的取值范围是________

11. 难度：简单

从集合A={-1,1,2}中随机选取一个数记为k,从集合B={-2,1,2}中随机选取一个数记为b,则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为_____.

12. 难度：中等

不等式对一切成立.则实数的取值范围是_________.

13. 难度：中等

如图已知每条棱长都为3的直平行六面体中，，长为2的线段的一个端点在上运动，另一个端点在底面上运动，则中点的轨迹与直平行六面体的面所围成的几何体的体积为________．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系中，定义（为点到点的一个变换，我们把它称为点变换．已知，，…，，是经过点变换得到的一列点．设，数列的前项和为，那么的值为　________．

15. 难度：中等

若是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：（1）属于，属于；（2）中任意多个元素的并集属于；（3）中任意多个元素的交集属于，则称是集合上的一个拓补.已知集合，对于下面给出的四个集合：

①②

③④

其中是集合上的拓补的集合的序号是______.（写出所有的拓补的集合的序号）

二、单选题

16. 难度：中等

两点在半径为的球面上，且以线段为直径的小圆周长为，则两点间的球面距离为（ 　　 ）

A. B. C. D.

17. 难度：中等

已知函数，则“”是“在区间上单调递增”的什么条件．（　　）

A.“充要” B.“充分不必要”

C.“必要不充分” D.“既不充分也不必要”

18. 难度：困难

设直线系（），则下列命题中是真命题的个数是（　　）

①存在一个圆与所有直线相交；

②存在一个圆与所有直线不相交；

③存在一个圆与所有直线相切；

④中所有直线均经过一个定点；

⑤不存在定点不在中的任一条直线上；

⑥对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上；

⑦中的直线所能围成的正三角形面积都相等．

A.3 B.4 C.5 D.6

19. 难度：中等

在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是（    ）

A. B. C. D.

20. 难度：中等

长度分别为、的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是（　　）

A. B.

C. D.

三、解答题

21. 难度：简单

关于的不等式  的解集为

求实数的值

若，且为纯虚数，求的值

22. 难度：中等

如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，，，（）

（1）求证：平面；

（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值；

（3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）

23. 难度：中等

的内切圆与三边的切点分别为,已知，内切圆圆心,设点A的轨迹为R.

（1）求R的方程；

（2）过点C的动直线m交曲线R于不同的两点M,N，问在x轴上是否存在一定点Q（Q不与C重合），使恒成立，若求出Q点的坐标，若不存在，说明理由.

24. 难度：困难

设是各项均为非零实数的数列的前n项和，给出如下两个命题上：命题p：是等差数列；命题q：等式对任意恒成立，其中k，b是常数.

（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；

（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；

（3）若p为真命题，对于给定的正整数n和正数M，数列满足条件，试求 的最大值.

25. 难度：中等

已知．

（1）求；

（2）对参数的哪些值，方程正好有3个实数解；

（3）设为任意实数，证明：共有3个不同的实数解，并且．