云南省昆明市2019-2020学年高三第一次摸底测试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（   ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

若，则（   ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

“二万五千里长征”是1934年10月到1936年10月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发生了许多可歌可泣的英雄故事.在中国共产党建党周年之际，某中学组织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为的样本参加活动，其中高三年级抽了人，高二年级抽了人，则该校高一年级学生人数为（   ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

的展开式中含项的系数为（   ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

函数的图象大致为（   ）

A.

B.

C.

D.

6. 难度：简单

已知等差数列的前项和为，若，则（   ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

在正方体中，为的中点，为的中点，则（   ）

A. B.

C.平面 D.平面

8. 难度：简单

已知函数，若是的一个极小值点，且，则（   ）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，输出的的值为（   ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

偶函数在上为减函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ）

A. B.

C. D.

11. 难度：简单

设抛物线的焦点为，准线为，点为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点，若，的面积为，则（   ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

若存在，满足，则实数的取值范围是（   ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知，为单位向量，且，的夹角为，则______________.

14. 难度：简单

公比为的等比数列的各项都是正数，且，则________.

15. 难度：中等

已知，分别为双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆交双曲线的右支于，两点，若，则双曲线的离心率为_________.

16. 难度：中等

在三棱锥中，平面平面，和均为边长为的等边三角形，若三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为____________.

三、解答题

17. 难度：简单

某学校为了解本校文、理科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从理科班学生中随机抽取人的成绩得到样本甲，从文科班学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：

甲样本数据直方图

乙样本数据直方图

已知乙样本中数据在的有个.

（1）求和乙样本直方图中的值；

（2）试估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.

18. 难度：简单

已知在中，，.

（1）求的值；

（2）若，的平分线交于点，求的长.

19. 难度：中等

图1是由正方形，直角梯形，三角形组成的一个平面图形，其中，，将其沿，折起使得与重合，连接，如图2.

（1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；

（2）求图2中的二面角的大小.

20. 难度：中等

过的直线与抛物线交于，两点，以，两点为切点分别作抛物线的切线，，设与交于点.

（1）求；

（2）过，的直线交抛物线于，两点，求四边形面积的最小值.

21. 难度：困难

已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）是否存在，，使得函数在区间的最小值为且最大值为？若存在，求出，的所有值；若不存在，请说明理由.

参考数据：.

22. 难度：简单

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程为.

（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若点为曲线上的动点，求中点到直线的距离的最小值

23. 难度：中等

已知正数，，满足等式.

证明：（1）；

（2）.