浙江省杭州市2019-2020学年高三上学期期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：中等

已知集合，，则（   ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

我们把方程分别为：和的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同（　　）

A.离心率 B.渐近线 C.焦点 D.顶点

3. 难度：简单

设a，G，b∈R，则“G²＝ab”是“G为a，b的等比中项”的（　　）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

若多项式，则（   ）

A.9 B.10 C.-9 D.-10

5. 难度：简单

设函数则下列结论错误的是

A.D（x）的值域为{0,1}

B. D（x）是偶函数

C. D（x）不是周期函数

D. D（x）不是单调函数

6. 难度：中等

中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有(　　)

A. 50种 B. 60种 C. 70种 D. 90种

7. 难度：简单

设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x₀，y₀)满足x₀－2y₀=2，求得m的取值范围是

A. B. C. D.

8. 难度：简单

设0＜a＜1，已知随机变量X的分布列是

X	0	a	1
P

若，则a＝（　　）

A. B. C. D.

9. 难度：困难

已知直三棱柱ABC﹣A'B'C'的底面是正三角形，侧棱长与底面边长相等，P是侧棱AA'上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与直线B'C所成的角为β，二面角P﹣B'B﹣C的平面角为γ，则（　　）

A.α＞β＞γ B.α＜β＜γ C.α＞γ＞β D.β＞α＞γ

10. 难度：困难

已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为

A.3 B.4

C.5 D.6

二、填空题

11. 难度：中等

若复数满足（为虚数单位），则________；________．

12. 难度：简单

已知 ，若f（x）＝2，则x＝___   若f（x）2，则x的取值范围为_____．

13. 难度：简单

某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是_____，最长棱长为_____．

14. 难度：简单

已知椭圆的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则|PF|＝_____   P点的坐标为_____．

15. 难度：中等

已知，则的值为_____．

16. 难度：中等

在△ABC中，∠ABC为直角，点M在线段BA上，满足BM＝2MA＝2，记∠ACM＝θ，若对于给定的θ，这样的△ABC是唯一确定的，则BC＝_____．

17. 难度：困难

已知，向量满足，设与的夹角为θ，则的最小值为_____．

三、解答题

18. 难度：简单

已知函数，该函数在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．

（1）求的值；

（2）若，，求的值．

19. 难度：中等

11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.

（1）求P（X=2）；

（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.

20. 难度：中等

已知数列{a_n}中，相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程：x²+3nx+b_n0（n∈N^*）的两实根，且a₁＝1．

（1）若S_n为数列{a_n}的前n项和，求S₁₀₀ ；

（2）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式．

21. 难度：困难

如图，已知点F（1，0）为抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上．

（1）求p的值及抛物线的准线方程 ；

（2）求证：直线OA与直线BC的倾斜角互补；  

（3）当x_A∈（1，2）时，求△ABC面积的最大值．

22. 难度：困难

已知实数a≠0，设函数．

（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的单调区间；  

（2）对任意均有，求a的取值范围．注：e＝2.71828…为自然对数的底数．