2020届辽宁省大连市高三双基考试数学（理科）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设，则在复平面内对应的点位于（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 难度：简单

命题“”的否定是（    ）

A. B.

C. D.

4. 难度：简单

为了解某商品销售量（件）与销售价格（元/件）的关系，统计了的10组值，并画成散点图如图，则其回归方程可能是（ ）

A. B.

C. D.

5. 难度：简单

已知二面角的大小为60°，和是两条异面直线，且，则与所成的角的大小为（    ）

A.120° B.90° C.60° D.30°

6. 难度：简单

下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

“剑桥学派”创始人之一数学家哈代说过：“数学家的造型，同画家和诗人一样，也应当是美丽的”；古希腊数学家毕达哥拉斯创造的“黄金分割”给我们的生活处处带来美；我国古代数学家赵爽创造了优美“弦图”.“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则等于（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

已知直线l过抛物线的焦点，并交抛物线C于A、B两点，，则弦AB中点M的横坐标是（    ）

A.3 B.4 C.6 D.8

9. 难度：简单

一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体.已知文物近似于塔形，高1.8米，体积0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，气体每立方米1000元，则气体费用最少为（    ）元

A.4500 B.4000 C.2880 D.2380

10. 难度：简单

设是双曲线的两个焦点，P是双曲线C上一点，若，且为，则双曲线C的离心率为（   ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：

甲地：总体平均数为3，中位数为4；

乙地：总体平均数为1，总体方差大于0；

丙地：总体平均数为2，总体方差为3；

丁地：中位数为2，众数为3；

则甲、乙、两、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（    ）

A.甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地

12. 难度：困难

若点是函数的图象上任意两，且函数在点A和点B处的切线互相垂直，则下列结论正确的是（    ）

A. B. C.最大值为e D.最大值为e

二、填空题

13. 难度：简单

已知向量，的夹角为，则________.

14. 难度：简单

已知定义在R上的奇函数，则a的值为________.

15. 难度：中等

我国南宋数学家秦九留撰写的名著《数书九章》第五卷提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长，求三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为“海伦—秦九韶”公式，现有一个三角形的边长满足，，则三角形面积的最大值为________.

16. 难度：中等

在中，若，则角的值为__________，当取得最大值时，的值为__________________．

三、解答题

17. 难度：中等

已知四棱锥中，底面为菱形，且，，过侧面中线的一个平面与直线垂直，并与此四棱锥的面相交，交线围成一个平面图形.

（1）画出这个平面图形，并证明平面；

（2）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

18. 难度：简单

已知数列满足：是公比为2的等比数列，是公差为1的等差数列.

（I）求的值；

（Ⅱ）试求数列的前n项和.

19. 难度：中等

某校辨论队计划在周六、周日各参加一场辨论赛，分别由正、副队长负责，已知该校辩论队共有10位成员（包含正、副队长），每场比赛除负责人外均另需3位队员（同一队员可同时参加两天的比赛，正、副队长只能参加一场比赛）.假设正副队长分别将各自比赛通知的信息独立、随机地发给辩论队8名队员中的3位，且所发信息都能收到.

（1）求辩论队员甲收到队长或副队长所发比赛通知信息的概率；

（2）记辩论队收到正副队长所发比赛通知信息的队员人数为随机变量，求的分布列及其数学期望.

20. 难度：困难

已知函数.

（1）试判断函数的单调性；

（2）若函数在上有且仅有一个零点，

①求证：此零点是的极值点；

②求证：.

（本题可能会用到的数据：）

21. 难度：困难

已知离心率为的椭圆的左顶点为，且椭圆经过点，与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线和直线的斜率之积为，求证：直线过定点；

（3）若为椭圆上一点，且，求三角形的面积.

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：，经过点，倾斜角为的直线l与曲线C交于A，B两点

（I）求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；

（Ⅱ）求的值。

23. 难度：中等

已知

（I）求证：；

（II）求证：.