上海市2015-2016学年高二下学期3月月考数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

设，且复数是纯虚数，则的值为______.

2. 难度：简单

若是纯虚数，则的值为______.

3. 难度：简单

下列关于复数的命题中：①任意两个确定的复数都不能比较大小；②若，则；③若，则；④为纯虚数；⑤；其中正确的命题是______（仅填写命题序号）

二、解答题

4. 难度：中等

在复数范围内分解因式： ________.

三、填空题

5. 难度：简单

若方程有两个虚根、，且，则实数的值是________.

6. 难度：简单

复数满足，且，______.

7. 难度：简单

若，，则的最小值是______；最大值是______.

8. 难度：简单

已知关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，则实数的取值为______.

9. 难度：中等

已知，且，求值______.

10. 难度：中等

已知动点在复平面上对应的复数为，其中是使为纯虚数的复数，点的轨迹方程______.（以复数形式表示）

11. 难度：简单

斜率为2的直线与圆锥曲线交于、两点，若弦长，则______.

12. 难度：简单

设抛物线的焦点为，点，若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为______.

13. 难度：简单

曲线是平面内到定点的距离与到定直线之和为3的动点的轨迹，则曲线与轴的交点的坐标是______.

14. 难度：简单

抛物线的动弦的长为16，弦的中点到轴的最短距离为______.

四、单选题

15. 难度：简单

设，则可取的值有（    ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个

16. 难度：简单

复数、分别对应复平面内的点、，且，线段的中点对应的复数为，则等于（    ）

A.10 B.40 C.100 D.200

17. 难度：简单

已知，且，为虚数单位，则的最小值是（    ）

A.3 B.4 C.5 D.6

18. 难度：简单

已知抛物线，圆 ．过点的直线交圆于两点，交抛物线于两点，且满足的直线恰有三条，则的取值范围为(     )

A. B. C. D.

五、解答题

19. 难度：简单

（1）设，且，求复数；

（2）已知，求.

20. 难度：简单

如图，、是焦点为的抛物线上的两个不同的点，且线段的中点的横坐标为3，直线与轴交于点，求点的横坐标的取值范围.

21. 难度：中等

如图所示，已知点，过点作直线、与圆：和抛物线：都相切.

（1）求抛物线的两切线的方程；

（2）设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于、两点，与抛物线的准线交于点（其中点靠近点），且，求与的面积之比.

22. 难度：简单

已知抛物线，焦点为，是否存在正数，对于过点且与抛物线有两个交点、的任一直线都有？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由.

23. 难度：中等

已知抛物线：上横坐标为4的点到焦点的距离为5.

（1）求抛物线的方程；

（2）设直线与抛物线交于两点、，且，是弦中点，过作平行于轴的直线交抛物线于点，得到，再分别过弦、的中点作平行于轴的直线依次交抛物线于点、，得到和，按此方法继续下去，解决下列问题：

①求证：；

②计算的面积；

③根据的面积的计算结果，写出、的面积，请设计一种求抛物线与线段所围成封闭图形面积的方法，并求此封闭图形的面积.