2020届重庆南开中学高三第五次教学质量检测考试数学文科试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则的元素个数为（  ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知复数满足，则在复平面内，复数所对应的点位于（  ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 难度：简单

已知,,,则（    ）

A. B.

C. D.

4. 难度：简单

已知向量，向量，若，则实数（  ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

为了解观众对某综艺节目的评价情况，栏目组随机抽取了名观众进行评分调查(满分分)，并统计得到如图所示的频率分布直方图，以下说法错误的是（  ）

A.参与评分的观众评分在的有人

B.观众评分的众数约为分

C.观众评分的平均分约为分

D.观众评分的中位数约为分

6. 难度：简单

已知三角形中，内角所对的边分别为，若，则角（  ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

已知函数，则（  ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

《九章算术》中有一题：今有牛、马羊食人苗，苗主贵之粟五斗，羊主日：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说： “我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”，打算按此比例偿还，则牛主人比羊主人多赔偿几斗粟（  ）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

直线交圆于两点，角的顶点为原点，始边与轴的非负半轴重合，终边分别过两点，则（  ）

A. B. C. D.

10. 难度：简单

数列:，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”.该数列前两项均为，从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.设计如图所示的程序框图，若输出“兔子数列”的第项，则图中①，②处应分别填入（  ）

A. B.

C. D.

11. 难度：中等

正三棱锥，为中点， ，，过的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积范围为（  ）

A. B.

C. D.

12. 难度：中等

已知双曲线左焦点为，分别在双曲线左右支上，轴，且与双曲线两渐近线从左至右依次交于，，则以为直径的圆上的点到原点的最近距离为（  ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知实数满足不等式组，则的最大值为__________．

14. 难度：简单

已知函数为奇函数，则__________．

15. 难度：中等

已知为平面上不共线三点，时.任取，，使得点在三角形内(含边界)的概率为__________．

16. 难度：中等

已知函数，若对恒成立，则的取值范围是__________．

三、解答题

17. 难度：简单

已知数列前项和为，且.

（1）求证:为等比数列;

（2）求和.

18. 难度：简单

如图，在四棱锥中，平面，，为线段上一点，，，.

（1）求证:平面；

（2）若，求三棱锥的体积.

19. 难度：简单

某公司决定投人资金进行产品研发以提高产品售价.已知每件产品的制造成本为元，若投人的总的研发成本(万元)与每件产品的销售单价(元)的关系如下表:

（1）求关于的线性回归方程;

（2）市场部发现，销售单价(元)与销量(件)存在以下关系：，.根据（1）中结果预测，当为何值时，可获得最高的利润？

附:，.

20. 难度：中等

函数.

（1）若函数的图象在处的切线过，求的值；

（2）在恒成立，求的取值范围.

21. 难度：中等

已知抛物线焦点为，为抛物线上在第一象限内一点，为原点，面积为.

（1）求抛物线方程；

（2）过点作两条直线分别交抛物线于异于点的两点，，且两直线斜率之和为，

（i）若为常数，求证直线过定点；

（ii）当改变时，求（i）中距离最近的点的坐标.

22. 难度：简单

在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知圆的极坐标方程为，圆的直角坐标方程为.

（1）求与交点的极坐标;

（2）若点分别为圆，上的点，且，求的最小值.

23. 难度：简单

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若的元素中最大值为，若，求的最小值.