2020届重庆市高三上学期期末测试卷理科数学（ 一诊康德卷）

一、单选题

1. 难度：简单

设复数z满足，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知集合，则B中元素个数为（    ）

A.4 B.5 C.6 D.7

3. 难度：简单

函数的图象大致是（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

已知，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 难度：简单

为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：

①样本数据落在区间的频率为0.45；

②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；

③样本的中位数为480万元.

其中正确结论的个数为（    ）

A.0 B.1 C.2 D.3

6. 难度：简单

某班举行了由甲、乙、丙、丁、戊5名学生参加的“弘扬中华文化”的演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5人的名次排列情况可能有（    ）

A.36种 B.54种 C.58种 D.72种

7. 难度：中等

已知平面非零向量满足：，在方向上的投影为，则与夹角的余弦值为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

已知非零实数a，b满足，则下列不等关系不一定成立的是（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

孙子定理在世界古代数学史上具有相当高的地位，它给出了寻找共同余数的整数问题的一般解法.右图是某同学为寻找共同余数为2的整数n而设计的程序框图，若执行该程序框图，则输出的结果为（    ）

A.29 B.30 C.31 D.32

10. 难度：中等

已知AB是圆的任意一条直径，点P在直线上运动，若的最小值为4，则实数a的值为（    ）

A.2 B.4 C.5 D.6

11. 难度：中等

已知双曲线的左焦点为，过点F且斜率为1的直线与双曲线C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于点，则双曲线C的离心率为（    ）

A. B. C. D.2

12. 难度：困难

关于函数有下述四个结论：

①的图象关于点对称②的最大值为

③在区间上单调递增④是周期函数且最小正周期为

其中所有正确结论的编号是（    ）

A.①② B.①③ C.①④ D.②④

二、填空题

13. 难度：简单

甲乙两队正在角逐排球联赛的冠军，在刚刚结束的前三局比赛中，甲队2胜1负暂时领先，若规定先胜三局者即为本次联赛冠军，已知两队在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则甲队最终成为本次排球联赛冠军的概率为________.

14. 难度：简单

已知，若，则实数________.

15. 难度：中等

已知，则________.

16. 难度：困难

已知数列满足，则数列的前40项和为________.

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数.

（1）求的最小正周期和单调递增区间；

（2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，M为BC边上一点，，若，，求AM.

18. 难度：中等

某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思想，扶贫工作小组经过多方调研，综合该地区的气候、地质、地理位置等特点，决定向当地农户推行某类景观树苗的种植.工作小组根据市场前景重点考察了A，B，C三种景观树苗，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B、C的自然成活率均为0.75.

（1）若引种树苗A，B，C各一棵，求至少自然成活2棵的概率；

（2）已知引种一棵树苗B需花费100元，引种后没有自然成活的树苗B中有80%的树苗可经过人工栽培技术处理，每棵需花费50元，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活.引种后自然成活的树苗B及经人工栽培技术处理后成活的树苗B在后期（成活后至长成可出售的小树）的培养过程中每棵均需再花费200元，记引种一棵树苗B的总花费为X元，求随机变量X的分布列及数学期望.

19. 难度：中等

已知数列的前n项和为，且.

（1）证明：数列是等比数列；

（2）设，证明：.

20. 难度：中等

已知圆与x轴的正半轴交于点A，过圆O上任意一点P作x轴的垂线，垂足为Q，线段PQ的中点的轨迹记为曲线，设过原点O且异于两坐标轴的直线与曲线交于B，C两点，直线AB与圆O的另一个交点为M，直线AC与圆O的另一个交点为N，设直线AB，AC的斜率分别为.

（1）求的值；

（2）判断是否为定值？若是，求出此定值；否则，请说明理由.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）求函数的最小值；

（2）设函数，讨论函数的零点个数.

22. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l的参数方程为，（t为参数，），点，直线l交曲线C于A，B两点，求的取值范围.

23. 难度：中等

已知不等式对任意成立，记实数m的最小值为.

（1）求；

（2）已知实数a，b，c满足：，求C的最大值.