2020届北京市通州区高三第一学期期末考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合,,则(    )

A. B. C. D.

2. 难度：简单

在复平面内,复数(其中是虚数单位)对应的点位于(    )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 难度：简单

已知点A(2,a)为抛物线图象上一点,点F为抛物线的焦点,则等于(    )

A.4 B.3 C. D.2

4. 难度：简单

若,则下列各式中一定正确的是(    )

A. B. C. D.

5. 难度：中等

某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的长度为(    )

A. B. C. D.

6. 难度：简单

甲､乙､丙､丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间,甲同学不与老师相邻,乙同学与老师相邻,则不同站法种数为(    )

A.24 B.12 C.8 D.6

7. 难度：简单

对于向量,, “”是“”的(    )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

关于函数有以下三个判断

①函数恒有两个零点且两个零点之积为-1；

②函数恒有两个极值点且两个极值点之积为-1；

③若是函数的一个极值点,则函数极小值为-1.

其中正确判断的个数有(    )

A.0个 B.1个 C.个 D.个

二、填空题

9. 难度：简单

已知向量,,若,则___________.

10. 难度：简单

在公差不为零的等差数列{a_n}中,a₁=2,且a₁,a₃,a₇依次成等比数列,那么数列{a_n}的前n项和等于____________.

11. 难度：简单

已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为,且两条渐近线互相垂直,则此双曲线的标准方程为_____.

12. 难度：简单

在中, ,,,则____.

13. 难度：困难

已知均为大于0的实数,给出下列五个论断:①,②,③,④,⑤.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________.

14. 难度：简单

如图,某城市中心花园的边界是圆心为O,直径为1千米的圆,花园一侧有一条直线型公路l,花园中间有一条公路AB(AB是圆O的直径),规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA.规划要求:道路PB,QA不穿过花园.已知,(C､D为垂足),测得OC=0.9,BD=1.2(单位:千米).已知修建道路费用为m元/千米.在规划要求下,修建道路总费用的最小值为_____元.

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.

16. 难度：中等

为了解某地区初中学生的体质健康情况,统计了该地区8所学校学生的体质健康数据,按总分评定等级为优秀,良好,及格,不及格.良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校.各等级学生人数占该校学生总人数的比例如下表:

比例     学校 等级	学校A	学校B	学校C	学校D	学校E	学校F	学校G	学校H
优秀	8%	3%	2%	9%	1%	22%	2%	3%
良好	37%	50%	23%	30%	45%	46%	37%	35%
及格	22%	30%	33%	26%	22%	17%	23%	38%
不及格	33%	17%	42%	35%	32%	15%	38%	24%

(1)从8所学校中随机选出一所学校,求该校为先进校的概率；

(2)从8所学校中随机选出两所学校,记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X,求X的分布列；

(3)设8所学校优秀比例的方差为S₁²,良好及其以下比例之和的方差为S₂²,比较S₁²与S₂²的大小.(只写出结果)

17. 难度：中等

如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠SAD =∠DAB= ,SA=3,SB=5,,,.  

(1)求证:AB平面SAD；

(2)求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；

(3)点E,F分别为线段BC,SB上的一点,若平面AEF//平面SCD,求三棱锥B-AEF的体积.

18. 难度：中等

已知椭圆C:的长轴长为4,离心率为,点P在椭圆C上.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知点M (4,0),点N(0,n),若以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点,求n的取值范围.

19. 难度：困难

已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数零点的个数.

20. 难度：困难

已知项数为的数列满足如下条件:①；②.若数列满足,其中,则称为的“伴随数列”.

(1)数列1,3,5,7,9是否存在“伴随数列”,若存在,写出其“伴随数列”；若不存在,请说明理由；

(2)若为的“伴随数列”,证明:；

(3)已知数列存在“伴随数列”,且,,求m的最大值.