上海市2015-2016学年高三下学期3月月考（理）数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，则___________.

2. 难度：简单

复数是实数，则实数____________.

3. 难度：中等

方程的解为________．

4. 难度：简单

已知圆锥的轴与母线的夹角为，母线长为3，则过圆锥顶点的轴截面面积的最大值为_________.

5. 难度：简单

已知0<y<x<π，且tanxtany＝2，sinxsiny＝，则x－y＝________.

6. 难度：简单

设等差数列的前项和为，若,则_______.

7. 难度：简单

圆, 直线，，若被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，则的值为_________.

8. 难度：中等

设正三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且该正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，则该球的表面积为________．

9. 难度：中等

已知，若对任意的，方程均有正实数解，则实数的取值范围是     ．

10. 难度：中等

若直线与抛物线相交于，两点，且，两点在抛物线的准线上的射影分别是，，若，则的值是           ．

11. 难度：中等

在极坐标中，直线被圆截得的弦长为_______.

12. 难度：简单

一射手对靶射击，直到第一次中靶为止．他每次射击中靶的概率是0.9，他有3颗弹子，射击结束后尚余子弹数目的数学期望=___________．

13. 难度：中等

已知，若存在，满足，则称是的一个“友好”三角形．在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是_____：（请写出符合要求的条件的序号）

①，，；②，，；③，，．

14. 难度：中等

如图，在中，，，，点、分别在轴、轴上，当点在轴上运动时，点随之在轴上运动，在运动过程中，点到原点的最大距离是___________.

二、单选题

15. 难度：中等

已知数列中，，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（ ）

A. B. C. D.

16. 难度：中等

在锐角中，内角的对边分别为，若，则下列各式正确的是（    ）

A. B.

C. D.

17. 难度：简单

已知集合，若实数，满足：对任意的，都有，则称是集合的“和谐实数对”，则以下集合中，存在“和谐实数对”的是（ ）

A.

B.

C.

D.

18. 难度：困难

已知正方体记过点A且与三直线 、所成的角都相等的直线的条数为,过点 与三个平面 所成角都相等的直线的条数为则（    ）

A. B. C. D.

三、解答题

19. 难度：中等

如图，在直三棱柱中，，，，点分别在棱上，且．

（1）求四棱锥的体积；

（2）求所在半平面与所在半平面所成二面角的余弦值．

20. 难度：中等

如图，某城市设立以城中心为圆心、公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心正东方向上有一条高速公路、西南方向上有一条一级公路，现要在保护区边缘PQ弧上选择一点A作为出口，建一条连接两条公路且与圆相切的直道．已知通往一级公路的道路每公里造价为万元，通往高速公路的道路每公里造价是万元，其中为常数，设，总造价为万元．

（1）把表示成的函数，并求出定义域；

（2）当时，如何确定A点的位置才能使得总造价最低？

21. 难度：中等

已知椭圆的右顶点、上顶点分别为A、B，坐标原点到直线AB的距离为，且.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的左焦点的直线交椭圆于M、N两点，且该椭圆上存在点P，使得四边形MONP（图形上字母按此顺序排列）恰好为平行四边形，求直线的方程.

22. 难度：中等

对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．

（Ⅰ）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；

（Ⅱ）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．

23. 难度：困难

已知等比数列的首项，数列前项和记为，前项积记为.

(1) 若，求等比数列的公比；

(2) 在(1)的条件下，判断与的大小；并求为何值时，取得最大值；

(3) 在(1)的条件下，证明：若数列中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为，则数列为等比数列.