重庆市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

（    ）

A.2 B.1 C.0 D.

2. 难度：简单

用反证法证明命题“关于x的方程至少有一个实根”时，要做的假设是（    ）

A.方程至多有一个实根 B.方程至少有两个实根

C.方程至多有两个实根 D.方程没有实根

3. 难度：简单

定义在上的函数的导函数在的图象如图所示，则函数在的极大值点个数为（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

4. 难度：简单

设a，b均为正实数，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 难度：简单

如图所示的电路有a，b，c，d四个开关，每个开关断开与闭合的概率均为且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

设直线与圆交于A，B两点，圆心为C，若为直角三角形，则（    ）

A.0 B.2 C.4 D.0或4

7. 难度：简单

“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相间，若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（    ）

A.72 B.108 C.144 D.196

8. 难度：简单

的展开式中，各项系数的和为32，则该展开式中x的系数为（    ）

A.10 B. C.5 D.

9. 难度：简单

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为3，则判断框中填入的条件可以是（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：简单

若直线是曲线的切线，则（    ）

A. B.1 C.2 D.

12. 难度：中等

在正方体中，E是棱的中点，点M，N分别是线段与线段上的动点，当点M，N之间的距离最小时，异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A. B. C.    D

二、填空题

13. 难度：简单

复数满足，则__________．

14. 难度：简单

甲、乙设备生产某产品共500件，采用分层抽样的方法从中抽取容量为30的样本进行检测.若样本中有12件产品由甲设备生产，则由乙设备生产的产品总数为_______件.

15. 难度：简单

已知双曲线的离心率为，一条渐近线为，抛物线的焦点为F，点P为直线与抛物线异于原点的交点，则_________.

16. 难度：简单

重庆市新课程改革要求化学、生物、政治、地理这四门学科为高考选考科目.现在甲、乙、丙三位同学分别从这四门学科中任选两科作为选考科目，则四门学科都有人选的概率为_________.

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数，M为不等式的解集.

（1）求M；

（2）证明：当，.

18. 难度：简单

已知曲线，直线（t为参数）.

（1）写出曲线C的参数方程，直线的普通方程；

（2）过曲线C上任意一点作与直线夹角为30°的直线，交于点A，求的最大值与最小值.

19. 难度：中等

直三棱柱中，，，，F为棱的中点.

（1）求证：；

（2）点M在线段上运动，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值.

20. 难度：中等

2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购.乘坐高铁可以网络购票，为了研究网络购票人群的年龄分布情况，在5月31日重庆到成都高铁9600名网络购票的乘客中随机抽取了120人进行了统计并记录，按年龄段将数据分成6组：，得到如下直方图：

（1）试通过直方图，估计5月31日当天网络购票的9600名乘客年龄的中位数；

（2）若在调查的且年龄在段乘客中随机抽取两人，求两人均来自同一年龄段的概率.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）设是的极值点，求的单调区间；

（2）当时，求证：.

22. 难度：困难

已知点A是椭圆的上顶点，斜率为的直线交椭圆E于A、M两点，点N在椭圆E上，且；

（1）当时，求的面积；

（2）当时，求证：.