2016届上海市高三下学期5月毕业考试（理）数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

集合，，则等于________.

2. 难度：简单

函数的定义域是___________

3. 难度：中等

已知函数，则                      ．

4. 难度：简单

若复数所对应的点在直线上，则的值为________.

5. 难度：中等

各项均为实数的等比数列的前项和为,已知成等差数列,则数列的公比为________.

6. 难度：简单

已知平面上四点满足，则________.

7. 难度：简单

若对任意正实数a，不等式恒成立，则实数x的最小值为______．

8. 难度：中等

对于抛物线，设直线过的焦点，且与的对称轴的夹角为.若被所截得的弦长为，则抛物线的焦点到顶点的距离为________.

9. 难度：困难

如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,平面.若,则直线与平面所成的角的大小为________

10. 难度：简单

在极坐标系中,曲线与直线的两个交点之间的距离为                ．

11. 难度：中等

某班级有4名学生被复旦大学自主招生录取后，大学提供了3个专业由这4名学生选择，每名学生只能选择一个专业，假设每名学生选择每个专业都是等可能的，则这3个专业都有学生选择的概率是               ．

12. 难度：中等

已知点、分别是双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为_______.

13. 难度：中等

函数的图像的一个对称中心的坐标是________.(只需要写出一个对称中心的坐标)

14. 难度：简单

如图，是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1，与间的距离是2，正三角形的三顶点分别在上，则的边长是            ．

二、单选题

15. 难度：简单

下列函数中，与函数的值域相同的函数为 （ ）

A. B. C. D.

16. 难度：中等

一无穷等比数列各项的和为，第二项为，则该数列的公比为 （ ）

A.. B.. C.. D.或.

17. 难度：中等

角终边上有一点,则下列各点中在角的终边上的点是(    )

A. B. C. D.

18. 难度：困难

已知矩形, , ,将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折,在翻折的过程中(    )

A.存在某个位置,使得直线和直线垂直

B.存在某个位置,使得直线和直线垂直

C.存在某个位置,使得直线和直线垂直

D.无论翻折到什么位置,以上三组直线均不垂直

三、解答题

19. 难度：中等

已知复数（是虚数单位）在复平面上对应的点依次为，点是坐标原点.

（1）若,求的值；

（2）若点的横坐标为,求.

20. 难度：中等

某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐(不计厚度，长度单位为米)，其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，(为圆柱的高，为球的半径，).假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为千元，半球形部分每平方米建造费用为千元.设该储油罐的建造费用为千元.

(1) 写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；

(2) 若预算为万元，求所能建造的储油罐中的最大值(精确到)，并求此时储油罐的体积(单位: 立方米，精确到立方米).

21. 难度：困难

已知.

(1)当,时,若不等式恒成立,求的范围；

(2)试判断函数在内零点的个数，并说明理由.

22. 难度：困难

如图,在平面直角坐标系中,过轴正方向上一点任作一直线,与抛物线相交于两点,一条垂直于轴的直线分别与线段和直线交于点.

(1)若,求的值;

(2)若为线段的中点,求证:直线与该抛物线有且仅有一个公共点.

(3)若直线的斜率存在,且与该抛物线有且仅有一个公共点,试问是否一定为线段的中点?说明理由.

23. 难度：困难

在数列中,若是正整数,且, ,则称为“D-数列”.

(1)举出一个前六项均不为零的“D-数列”(只要求依次写出该数列的前六项);

(2)若“D-数列”中,,,数列满足,,分别判断当时,与的极限是否存在?如果存在,求出其极限值(若不存在不需要交代理由);

(3)证明:任何“D-数列”中总含有无穷多个为零的项.