广西壮族自治区南宁市2019-2020学年高二上学期期末数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件 B.充要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

2. 难度：简单

命题P：ax²+2x﹣1＝0有实数根，若￢p是假命题，则实数a的取值范围是（　　）

A.{a|a＜1} B.{a|a≤﹣1} C.{a|a≥﹣1} D.{a|a>﹣1}

3. 难度：简单

已知实数，满足，则的最大值是（    ）

A.5 B.4 C.3 D.2

4. 难度：简单

直线被圆截得的弦长为（ ）

A. B.2 C. D.1

5. 难度：简单

某数学学习小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中一男一女的概率为（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

若将一个质点随机投入如图所示的正方形中，其中，则质点落在以为直径的圆内阴影部分的概率是（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

若x，y满足约束条件，则的最大值为（    ）

A.-5 B.-3 C.1 D.2

8. 难度：简单

如图，正方体中，、分别是边和的中点，则和所成的角是（   ）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

设抛物线上一点P到y轴的距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是　　

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

10. 难度：简单

函数y=x²㏑x的单调递减区间为

A.（1,1] B.（0,1] C.[1，+∞） D.（0，+∞）

11. 难度：困难

如图，点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

设，分别为双曲线的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M，N两点，且，则该双曲线的离心率为（    ）

A. B. C.2 D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知x，y满足方程（x﹣2）²+y²＝1，则的最大值为__________

14. 难度：中等

双曲线的两个焦点为F₁、F₂，点P在双曲线上，若PF₁⊥PF₂，则点P到x轴的距离为______．

15. 难度：简单

已知曲线在点处的切线方程为，则实数的值为_______.

16. 难度：中等

设，分别是椭圆的左右焦点，为椭圆上任意-一点，点的坐标为，则的最大值为__________．

三、解答题

17. 难度：简单

已知数列{a_n}为等差数列，其中a₂+a₃=8，a₅=3a₂．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）记，求{}的前n项和S_n．

18. 难度：简单

在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB．

（1）求角B的大小；

（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值

19. 难度：中等

已知（其中，均为常数）.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若且，求过点且与曲线相切的直线的方程.

20. 难度：中等

某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.

（1）求图中x的值；

（2）求这组数据的平均数和中位数；

（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数3:2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.

21. 难度：困难

在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，点是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

22. 难度：困难

已知点，在圆：上任取一点，的垂直平分线交于点.（如图）.

（1）求点的轨迹方程；

（2）若过点的动直线与（1）中的轨迹相交于、两点.问：平面内是否存在异于点的定点，使得恒成立？试证明你的结论.