2016届上海市嘉定分校高三5月（三模）数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

函数的反函数为，则______.

2. 难度：中等

计算：____________

3. 难度：简单

在等差数列中，，则________.

4. 难度：简单

已知复数 (i为虚数单位)，则________．

5. 难度：简单

已知两条直线，若的一个法向量恰为的一个方向向量，则___________

6. 难度：简单

函数的最小值为________．

7. 难度：简单

设二项式的展开式中各项系数的和为，二项式系数的和为，且，则的值为___________

8. 难度：中等

在中，,且与的夹角为，则边上的中线的长为___________

9. 难度：简单

某小区有个连在一起的车位，现有辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的个车位连在一起，那么不同的停放方法共有 __________种.（用数字作答）

10. 难度：中等

若关于的二元一次方程组 ，至多有一组解，则实数的取值范围是________

11. 难度：中等

已知曲线与函数及函数的图像分别交于点、，则的值为__________

12. 难度：困难

已知函数为偶函数，为奇函数，其中、为常数，则___________

13. 难度：中等

定义在正实数上的连续函数满足：，且对于任意的正实数，均有，则__________

14. 难度：困难

在中，，点满足,则的最大值是__________

二、单选题

15. 难度：中等

设，是非零向量，“”是“”的（ ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

16. 难度：中等

函数的零点个数为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

17. 难度：中等

对于任意两个正整数、，定义某种运算“※”，法则如下：当、都是正奇数时，※=；当、不全为正奇数时，※=.则在此定义下，集合中的元素个数是（ ）

A. B. C. D.

18. 难度：中等

设有一组圆，下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点；其中真命题的个数为（     ）

A.1 B.2 C.3 D.4

三、解答题

19. 难度：中等

已知向量和向量，且；

（1）求函数的最小正周期和最大值；

（2）已知的三个内角分别为、、，若有，求的值；

20. 难度：中等

如图，在棱长为的正方体中，、分别为棱和的中点，交于；

（1）试在棱上找一点，使平面，并证明你的结论；

（2）求点到平面的距离；

21. 难度：中等

平面直角坐标系中，已知直线，定点,动点到直线的距离是到定点的距离的2倍；

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）若为轨迹上的动点，直线过点且与轨迹只有一个公共点，求证：此时点和点到直线的距离之积为定值；

22. 难度：困难

用一个长为，宽为的矩形铁皮（如图1）制作成一个直角圆形弯管（如图3）：先在矩形的中间画一条曲线，并沿曲线剪开，将所得的两部分分别卷成体积相等的斜截圆柱状（如图2），然后将其中一个适当翻转拼接成直角圆形弯管（如图3）（不计拼接损耗部分），并使得直角圆形弯管的体积最大；

（1）求直角圆形弯管（图3）的体积；

（2）求斜截面椭圆的焦距；

（3）在相应的图1中建立适当的坐标系，使所画的曲线的方程为，求出方程并画出大致图像；

23. 难度：困难

已知数列，满足：．

（1）若，求数列的通项公式；

（2）若，且．

① 记，求证：数列为等差数列；

② 若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项应满足的条件．