重庆市、七中等七校2019-2020年高二上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知命题 p：∀x∈R，cosx≤1，则（　　）

A.￢p：∃x₀∈R，cosx₀≥1 B.￢p：∀x∈R，cosx≥1

C.￢p：∀x∈R，cosx＞1 D.￢p：∃x₀∈R，cosx₀＞1

2. 难度：简单

如图，在正方体中，直线与的位置关系是（    ）

A.平行 B.相交 C.异面但不垂直 D.异面且垂直

3. 难度：简单

已知双曲线的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（   ）

A. B. C. D.

4. 难度：中等

已知命题，命题，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（   ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

如图，已知三棱锥的各条棱长均相等，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

已知圆，直线，若圆上恰有4个不同的点到直线的距离都等于1，则的取值范围是（   ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

设F₁、F₂是椭圆的两焦点，P为椭圆上的点，若PF₁⊥PF₂，则△PF₁F₂的面积为（      ）

A.8 B.4 C.4 D.2

8. 难度：中等

过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（   ）

A.4 B.3 C.2 D.1

9. 难度：中等

过抛物线的焦点作斜率小于0的直线与抛物线交于，两点，且与准线交于点，若，则（   ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

已知四棱锥中，平面平面，为矩形，为等腰直角三角形， ，，则四棱锥外接球的表面积为（   ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知双曲线的左右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线左支于点，若，则双曲线的渐近线方程为（   ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

如图，，，是由直线引出的三个不重合的半平面，其中二面角大小为60°，在二面角内绕直线旋转，圆在内，且圆在，内的射影分别为椭圆，.记椭圆，的离心率分别为，，则的取值范围是（   ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

直线与直线平行，则的值为_________.

14. 难度：简单

若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆锥的体积为______．

15. 难度：中等

抛物线上一点到焦点的距离为6，，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为________.

16. 难度：困难

已知棱长为1的无盖正方体容器中装有直径为1的实心铁球且盛满了水，另将半径为的小球缓慢放入容器中，若小球能完全淹入水里，则的取值范围是_________．

三、解答题

17. 难度：中等

已知点点两点.

（1）求以为直径的圆的方程；

（2）若直线与圆交于两不同点，求线段的长度.

18. 难度：中等

如图：三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，是棱的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

19. 难度：中等

如图：在四棱锥中，已知底面是菱形且，侧棱，为线段上的中点，为线段上的定点.

（1）求证：平面；

（2）若，，，且直线平面，求三棱锥的体积.

20. 难度：中等

抛物线上的点到点的距离与到轴距离之差为1，过点的直线交抛物线于，两点.

（1）求抛物线的方程；

（2）若的面积为，求直线的方程.

21. 难度：中等

如图：多面体中，四边形为矩形，二面角为60°，，，，，．

（1）求证：平面；

（2）线段上一点，若锐二面角的正弦值为，求.

22. 难度：中等

已知椭圆，离心率为，点在椭圆上，且的周长为6．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，，点，为椭圆上位于轴上方的两点，且，记直线，的斜率分别为，.若，求直线的方程.