湖北省宜昌市2019-2020学年高三期末数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知实数集，集合，集合，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设，，，则、、的大小关系是（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：中等

已知等比数列的各项均为正数，若，则（    ）

A.1 B.2 C.4 D.8

4. 难度：中等

已知向量，，若，则在方向上的投影为（    ）

A. B.1 C. D.2

5. 难度：中等

中国的计量单位可以追溯到4000多年前的氏族社会末期，公元前221年，秦王统一中国后，颁布同一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器.下图是古代的一种度量工具“斗”（无盖，不计量厚度）的三视图（其正视图和侧视图为等腰梯形），则此“斗”的体积为（单位：立方厘米）（   ）

A. 2000    B. 2800    C. 3000    D. 6000

6. 难度：中等

“”是“椭圆的焦距为4”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

函数的部分图像可能是（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，为使每吨的平均处理成本最低，该厂每月处理量应为（    ）

A.300吨 B.400吨 C.500吨 D.600吨

9. 难度：中等

已知函数的部分图象如图所示，点，，则下列说法错误的是（    ）

A.直线是图象的一条对称轴

B.的最小正周期为

C.在区间上单调递增

D.的图象可由向左平移个单位而得到

10. 难度：中等

已知椭圆与圆在第二象限的交点是点，是椭圆的左焦点，为坐标原点，到直线的距离是，则椭圆的离心率是（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知函数，对于任意，都有，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

在棱长为2的正方体中，点是对角线上的点（点与、不重合），则下列结论正确的个数为（     ）

①存在点，使得平面平面；

②存在点，使得平面；

③若的面积为，则；

④若、分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

二、填空题

13. 难度：简单

已知实数、满足条件，则的最小值为__________．

14. 难度：中等

已知，则__________．

15. 难度：中等

已知为坐标原点，直线与圆交于、两点，，点为线段的中点.则点的轨迹方程是__________，的取值范围为__________．

16. 难度：困难

已知直线与函数的图像相切于点，与函数的图像相切于点，若，且，，则__________．

三、解答题

17. 难度：中等

已知分别为三个内角的对边，且.

（1）求；

（2）在中，，为边的中点，为边上一点，且，，求的面积.

18. 难度：中等

已知数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

19. 难度：中等

在斜三棱柱中，，侧面是边长为4的菱形，，，、分别为、的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，求二面角的正弦值.

20. 难度：困难

已知椭圆，、为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线，过点的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线分别交直线、直线于、两点，当最小时，求直线的方程.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）当时，求的最大值；

（2）若只有一个极值点.

（i）求实数的取值范围；

（ii）证明：.

22. 难度：中等

已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.

（1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；

（2）已知点，直线与曲线交于、两点，求.

23. 难度：中等

已知函数.

（1）解不等式：；

（2）设时，的最小值为.若正实数满足，求的最大值.