河南省南阳市2019-2020学年高三上学期期末数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设复数（为虚数单位），则复数的虚部为（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

在一个不透明的容器中有6个小球，其中有4个黄球，2个红球，它们除颜色外完全相同，如果一次随机取出2个球，那么至少有1个红球的概率为（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：中等

已知函数的周期为，则下列选项正确的是

A.函数的图象关于点对称

B.函数的图象关于点对称

C.函数的图象关于直线对称

D.函数的图象关于直线对称

5. 难度：中等

甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（   ）

A.甲类水果的平均质量

B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右

C.甲类水果的平均质量比乙类水果的质量小

D.乙类水果的质量服从正态分布的参数

6. 难度：简单

函数的大致图像为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

已知，则（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

在如图算法框图中，若，程序运行的结果为二项式的展开式中的系数的倍，那么判断框中应填入的关于的判断条件是（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

已知是等差数列的前项和，若，设，则数列的前项和取最大值时的值为（    ）

A.6 B.7 C.8 D.9

10. 难度：困难

十八世纪，函数（表示不超过的最大整数）被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，结合定义的表述，人们习惯称为“取整函数”，根据上述定义，则方程的所有实数根的个数为（    ）

A. B.1 C.2 D.3

11. 难度：困难

某三棱锥的三视图如图所示，其中主视图是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

已知函数…，若函数的零点均在区间内，则的最小值是（    ）

A. B. C.3 D.

二、填空题

13. 难度：中等

已知向量，若，则实数的值为________.

14. 难度：中等

学校准备将名同学全部分配到运动会的田径、拔河和球类个不同项目比赛做志愿者，每个项目至少 名，则不同的分配方案有________种（用数字作答）.

15. 难度：中等

已知双曲线的左右两个焦点分别为，，为其左、右两个顶点，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且，则该双曲线的离心率为________.

16. 难度：困难

已知函数（为自然对数的底数，，为常数）有三个不同的零点，则实数的取值范围为________.

三、解答题

17. 难度：中等

如图，在中，角，，的对边分别为，，，且.

（1）求的大小；

（2）若，为外一点，，，求四边形面积的最大值.

18. 难度：中等

如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，．

（1）证明平面；

（2）设二面角为，求与平面所成角的大小

19. 难度：中等

设直线与抛物线交于两点，与椭圆交于两点，设直线（为坐标原点）的斜率分别为，若.

（1）证明：直线过定点，并求出该定点的坐标；

（2）是否存在常数，满足？并说明理由.

20. 难度：困难

已知函数.

（1）若函数有2个零点，求实数的取值范围；

（2）若关于的方程有两个不等实根，证明：

①；

②.

21. 难度：困难

一种掷硬币走跳棋的游戏：在棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第100站，共100站，设棋子跳到第站的概率为，一枚棋子开始在第1站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次.若硬币的正面向上，棋子向前跳一站；若硬币的反面向上，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（失败）或者第100站（获胜）时，游戏结束.

（1）求；

（2）求证：数列为等比数列；

（3）求玩该游戏获胜的概率.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线的参数方程为 （为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线与恰有一个公共点.

(Ⅰ)求曲线的极坐标方程；

(Ⅱ)已知曲线上两点，满足，求面积的最大值.

23. 难度：中等

若关于的不等式有解，记实数的最大值为.

（1）求的值；

（2）若正数满足，求的最小值.