福建省南平市2019-2020学年高三上学期第一次综合质量检查数学（文）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

若复数为纯虚数，则实数的值为（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

已知，，（其中为自然对数的底数），则（    ）

A. B.

C. D.

4. 难度：简单

已知平面向量与满足，，且，则（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

一个盒子中装有个大小、形状完全相同的小球，其中个白球，个红球，个黄球，若从中随机取出个球，记下颜色后放回盒子，均匀搅拌后，再随机取出个球，则两次取出小球颜色不同的概率是（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

已知椭圆：过点，椭圆的离心率为，则椭圆的焦距为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

已知函数，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象．下列关于函数的说法正确的是（    ）

A.在上是减函数 B.在区间上值域为

C.函数是奇函数 D.其图象关于直线对称

8. 难度：简单

宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”下图是解决此问题的一个程序框图，其中为松长、为竹长，则输出的（    ）

A. B. C. D.2

9. 难度：简单

函数在上的图象大致为（    ）

A. B.

C. D.

10. 难度：中等

给出下列四个命题：

①，使得；

②是恒成立的充分条件；

③函数在点处不存在切线；

④函数存在零点．

其中正确命题个数是（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

在中，，是线段上的点，，若的面积为，则的最大值是（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

已知定义在R上的连续函数满足，且，为函数的导函数，当时，有，则不等式的解集为（    ）

A. B.

C. D.

二、填空题

13. 难度：中等

已知，则__________．

14. 难度：简单

已知函数是公差为等差数列，若，，成等比数列，则________；

15. 难度：中等

已知直三棱柱的高为，，，则该三棱柱外接球的表面积为________；

16. 难度：中等

已知点，分别为双曲线：的左、右焦点，为直线与双曲线的一个交点，若点在以为直径的圆上，则双曲线的离心率为________．

三、解答题

17. 难度：中等

国家大力提倡科技创新，某工厂为提升甲产品的市场竞争力，对生产技术进行创新改造，使甲产品的生产节能降耗．以下表格提供了节能降耗后甲产品的生产产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对照数据．

（吨）
（吨）

（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；

（，）

（2）已知该厂技术改造前生产吨甲产品的生产能耗为吨，试根据（1）求出的线性回归方程，预测节能降耗后生产吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨？

18. 难度：中等

已知等比数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

19. 难度：中等

如图，在几何体中，四边形为矩形，且，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）若平面平面，，，求三棱锥的体积．

20. 难度：困难

已知抛物线：准线为，焦点为，点是抛物线上位于第一象限的动点，直线（为坐标原点）交于点，直线交抛物线于、两点，为线段中点．

（1）若，求直线的方程；

（2）试问直线的斜率是否为定值，若是，求出该值；若不是，说明理由．

21. 难度：困难

已知函数，其中．

（1）试讨论函数的单调性；

（2）若，试证明：．

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为：（为参数），，为直线上距离为的两动点，点为曲线上的动点且不在直线上．

（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程．

（2）求面积的最大值．

23. 难度：中等

已知函数，若的解集为．

（1）求并解不等式；

（2）已知：，若对一切实数都成立，求证：．