2017年上海市虹口区高考一模数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，，则__________．

2. 难度：简单

已知，则复数的虚部为__________．

3. 难度：简单

设函数，且，则_______.

4. 难度：简单

己知的增广矩阵是，则此方程组的解是________.

5. 难度：中等

已知数列是首项为，公差为的等差数列，是其前项和，则__________．

6. 难度：简单

已知角是的内角，则“”是“”的__________条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．

7. 难度：简单

若双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的焦距等于__________．

8. 难度：简单

若正项等比数列满足：，则的最大值为__________．

9. 难度：简单

一个底面半径为的圆柱被与其底面所成角是的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于__________．

10. 难度：简单

设函数，则当时，则表达式的展开式中含项的系数是__________．

11. 难度：困难

点，抛物线的焦点为，若对于抛物线上的任意点，的最小值为41，则的值等于______.

12. 难度：中等

当实数x、y满足时，的取值大小与x、y均无关，则实数a的取值范围是____________.

二、单选题

13. 难度：简单

在空间，表示平面，表示两条直线，则下列命题中错误的是（    ）

A.若，不平行，则与不平行

B.若，不垂直，则与不垂直

C.若，不平行，则与不垂直

D.若，不垂直，则与不平行

14. 难度：简单

已知函数在区间（其中）上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A. B.

C. D.

15. 难度：中等

如图，点在圆上，则的值（   ）

A.只与圆的半径有关

B.只与弦的长度有关

C.既与圆的半径有关，又与弦的长度有关

D.与圆的半径和弦的长度均无关

16. 难度：困难

定义(其中表示不小于的最小整数)为“取上整函数”，例如以下关于“取上整函数”性质的描述,正确的是（    ）

①

②若则

③任意有

④

A.①② B.①③ C.②③ D.②④

三、解答题

17. 难度：简单

在正三棱锥中，已知底面等边三角形的边长为，侧棱长为．

（1）求证：；

（2）求此三棱锥的全面积和体积．

18. 难度：中等

如图，我海监船在岛海域例行维权巡航，某时刻航行至处，此时测得其北偏东方向与它相距海里的处有一外国船只，且岛位于海监船正东海里处．

（1）求此时该外国船只与岛的距离；

（2）观测中发现，此外国船只正以每小时海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离岛海里的处（在的正南方向），不让其进入岛海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到，速度精确到海里/小时）．

19. 难度：中等

已知二次函数的值域为.

（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；

（2）判断此函数在的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；

（3）求出在上的最小值，并求的值域.

20. 难度：困难

椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k₁和k₂．

（1）求椭圆C的方程；

（2）如果直线l的斜率等于-1，求出k₁•k₂的值；

（3）探讨k₁+k₂是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k₁+k₂的取值范围．

21. 难度：困难

已知函数，无穷数列的首项．

（1）如果，写出数列的通项公式；

（2）如果（且），要使得数列是等差数列，求首项的取值范围；

（3）如果（且），求出数列的前项和．