上海市2015-2016学年高二上学期期末数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

抛物线的焦点坐标是__________．

2. 难度：中等

已知复数z与（z+2）²+5均为纯虚数，则复数z=__．

3. 难度：简单

已知直线l的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为__．

4. 难度：简单

若圆C经过点A（1，2）及点B（3，1），且以AB为直径，则圆C的标准方程为__．

5. 难度：中等

已知|z|=1，则的取值范围是__．

6. 难度：简单

已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点是椭圆的右焦点，则抛物线方程为________．

7. 难度：简单

已知直线与抛物线交于，两点，则弦的长为__________．

8. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为__．

9. 难度：简单

与椭圆有相同的焦点且以为渐近线的双曲线方程        ．

10. 难度：简单

在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，则的最大值是        ．

11. 难度：困难

已知函数与的图像相交于点，两点，若动点满足，则点的轨迹方程是______.

12. 难度：困难

在平面直角坐标系xOy中，若动点P（a，b）到两直线l₁：y=x和l₂：y=﹣x+2的距离之和为，则a²+b²的最大值为__．

13. 难度：困难

已知集合M={（x，y）|x﹣3≤y≤x﹣1}，N={P|PA≥PB，A（﹣1，0），B（1，0）}，则表示M∩N的图形面积为__．

14. 难度：中等

关于曲线，有如下结论：

①曲线C关于原点对称；

②曲线C关于直线x±y=0对称；

③曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π；

④曲线C不是封闭图形，且它与圆x²+y²=2无公共点；

⑤曲线C与曲线有4个交点，这4点构成正方形．其中所有正确结论的序号为__．

二、单选题

15. 难度：简单

“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（    ）条件．

A.充分非必要 B.必要非充分

C.充分必要 D.既非充分又非必要

16. 难度：简单

已知直线（），则下列说法错误的是（    ）

A.直线的倾斜角为

B.直线必过点

C.当时，直线上对应点到点的距离是

D.直线不经过第二象限

17. 难度：中等

若直线ax+by﹣3=0与圆x²+y²=3没有公共点，设点P的坐标（a，b），那过点P的一条直线与椭圆=1的公共点的个数为（　　）

A.0 B.1 C.2 D.1或2

18. 难度：中等

F₁，F₂分别是双曲线的左右焦点，过点F₁的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF₂是等边三角形，则的值为（　　）

A.2 B. C. D.

三、解答题

19. 难度：中等

已知复数z满足z=﹣4．

（1）求复数z的共轭复数 ；

（2）若w=z+ai，且|w|≤|z|，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

已知圆C过两点A（0，4），B（4，6），且圆心在直线x﹣2y﹣2=0上．

（1）求圆C的方程；

（2）若直线l过原点且被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程．

21. 难度：中等

在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．

（1）求证：命题“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；

（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

22. 难度：困难

设复数β=x+yi（x，y∈R）与复平面上点P（x，y）对应．

（1）若β是关于t的一元二次方程t²﹣2t+m=0（m∈R）的一个虚根，且|β|=2，求实数m的值；

（2）设复数β满足条件|β+3|+（﹣1）ⁿ|β﹣3|=3a+（﹣1）ⁿa（其中n∈N^*、常数），当n为奇数时，动点P（x、y）的轨迹为C₁．当n为偶数时，动点P（x、y）的轨迹为C₂．且两条曲线都经过点，求轨迹C₁与C₂的方程；

（3）在（2）的条件下，轨迹C₂上存在点A，使点A与点B（x₀，0）（x₀＞0）的最小距离不小于，求实数x₀的取值范围．

23. 难度：困难

已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.

（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；

（ii）当最小时，求点T的坐标.