上海市2017-2018学年高三上学期10月月考数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

设函数的定义域为，函数的定义域为，则__________．

2. 难度：简单

设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则__________．

3. 难度：简单

若，则________.

4. 难度：简单

若关于的方程组无解，则实数________

5. 难度：中等

已知各项都为正数的等比数列，且满足，若存在两项，使得，则的最小是为________

6. 难度：简单

已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列四个命题：

①的元素不都是的元素；        ②的元素都不是的元素；

③中有的元素；                ④ 存在，使得；

其中真命题的序号是________（将正确的序号都填上）.

7. 难度：中等

将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．

8. 难度：简单

如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是________

9. 难度：中等

已知实数满足则的取值范围是     .

10. 难度：中等

以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点.已知,。则的焦点到准线的距离为______.

11. 难度：困难

设是定义在R 且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是____________

12. 难度：困难

几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家的学习兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下列数学问题的答案：已知数列1、1、2、1、2、4、8、1、2、4、8、16、……，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，……，以此类推，求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为2的整数幂，那么该软件的激活码是________。

二、单选题

13. 难度：简单

设，则“”是“且”的（　　）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

14. 难度：简单

三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如下图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（    ）.

A.如果，，那么 B.如果，那么

C.对任意实数和，有，当且仅当时等号成立 D.如果，那么

15. 难度：中等

平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则所成角的正弦值为（    ）

A. B. C. D.

16. 难度：困难

在平面内，定点A，B，C，D满足==,===–2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是

A. B. C. D.

三、解答题

17. 难度：中等

已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为（1，3）．

（1）若方程有两个相等的实数根，求的解析式；

（2）若的最大值为正数，求的取值范围．

18. 难度：简单

在△中，分别为内角所对的边，满足.

（1）求的大小；

（2）若，，且，求△的面积.

19. 难度：简单

某企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同，公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩下的资金全部投入下一年生产，设第年年底企业上缴资金后剩余资金为万元.

（1）用表示，，并写出与的关系式；

（2）若公司希望经过5年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金的值.（精确到0.01）

20. 难度：中等

已知双曲线：（），直线：，与交于P、Q两点，为P关于y轴的对称点，直线与y轴交于点；

（1）若点是的一个焦点，求的渐近线方程；

（2）若，点P的坐标为，且，求k的值；

（3）若，求n关于b的表达式.

21. 难度：困难

已知非空集合是由一些函数组成，满足如下性质：①对任意，均存在反函数，且；②对任意，方程均有解；③对任意、，若函数为定义在上的一次函数，则.

（1）若，，均在集合中，求证：函数；

（2）若函数（）在集合中，求实数的取值范围；

（3）若集合中的函数均为定义在上的一次函数，求证：存在一个实数，使得对一切，均有.