上海市2015-2016学年高二下学期期中（理）数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

椭圆的焦距为          .

2. 难度：简单

正四棱柱中,则与平面所成角的正弦值为    ____   ．

3. 难度：简单

已知正三棱锥的底面边长为2，高为1，则该三棱锥的侧面积为__．

4. 难度：简单

若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__．

5. 难度：中等

若方程表示双曲线，则实数的取值范围是__．

二、解答题

6. 难度：中等

求经过点P(6，－4)且被定圆O：x²＋y²＝20截得的弦长为6的直线AB的方程．

三、填空题

7. 难度：简单

已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是   ．

8. 难度：简单

以下4个命题：

1）三个点可以确定一个平面；

2）平行于同一个平面的两条直线平行；

3）抛物线对称轴为轴；

4）同时垂直于一条直线的两条直线一定平行；

正确的命题个数为__．

9. 难度：中等

如图，已知平面，，，，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小为__．

10. 难度：简单

已知是抛物线上的动点，是抛物线的焦点，则线段的中点轨迹方程是__．

11. 难度：简单

10件产品中有8件正品，2件次品，从中任取3件，则恰好有一件次品的概率为           .（结果用最简分数表示）

12. 难度：简单

盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字、、、的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为”的概率是       .

13. 难度：简单

如图，在矩形中，为边的中点，，，分别以、为圆心，1为半径作圆弧、（在线段上）．由两圆弧、及边所围成的平面图形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为__．

14. 难度：中等

已知是椭圆的长轴，若把该长轴2010等分，过每个等分点作的垂线，依次交椭圆的上半部分于点，，…，，设左焦点为，则______.

四、单选题

15. 难度：简单

以下四个命题中的假命题是（ ）

A.“直线是异面直线”的必要不充分条件是“直线a、b不相交”

B.两直线“a//b”的充要条件是“直线a、b与同一平面所成角相等”

C.直线“”的充分不必要条件是“a垂直于b所在平面”

D.“直线a//平面”的必要不充分条件是“直线a平行于平面内的一条直线”

16. 难度：简单

设椭圆的一个焦点为，且，则椭圆的标准方程为（    ）

A. B. C. D.

17. 难度：中等

若集合满足，则称为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为集合A的同一分拆，则集合的不同分拆的种数为（ ）

A.27 B.26 C.9 D.8

18. 难度：中等

设、是关于的方程的两个不相等实根，则过、两点的直线与双曲线的公共点个数是（    ）

A.3 B.2 C.1 D.0

五、解答题

19. 难度：中等

在长方体中，，，、分别是所在棱、的中点，点是棱上的动点，联结，．如图所示．

（1）求异面直线，所成角的大小（用反三角函数值表示）；

（2）（理科）求以、、、为顶点的三棱锥的体积．

（文科）求以、、、为顶点的三棱锥的体积．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点到两点的距离之和等于4，设点的轨迹为曲线

（1）求曲线的方程；

（2）设直线与交于两点，为何值时？

21. 难度：中等

如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知，，，为的中点．求：

（1）圆柱的全面积；

（2）异面直线与所成的角的大小；

（3）求直线与平面所成的角的大小．

22. 难度：困难

如图，长方体中，，，点为面的对角线上的动点（不包括端点）．平面交于点，于点．

（1）设，将长表示为的函数；

（2）当最小时，求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

23. 难度：困难

如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点．

（1）若，求曲线的方程；

（2）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；

（3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求的面积的最大值．