上海市2016-2017学年高二下学期期中数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

复数的实部、虚部满足：，其中为虚数单位，则______．

2. 难度：简单

复数（）是复数的一个平方根，其中为虚数单位，则__________．

3. 难度：简单

设常数，抛物线的准线方程是，则__________．

4. 难度：简单

将参数方程化为普通方程，所得方程是__________．

5. 难度：简单

已知抛物线上有两个点，，若直线的斜率为，且，则__________．

6. 难度：中等

若复数满足，则复数（其中为虚数单位）的模的取值范围为__________．

7. 难度：简单

如图，在正方体中，分别是的中点，则直线与平面所成角的大小为__________．

8. 难度：中等

在正方体中，，分别是的中点，设是在平面上的射影，则三角形的面积为__________．

9. 难度：简单

在直角坐标系中，曲线与的参数方程分别为与，则曲线的公共点坐标__________．

10. 难度：简单

若为非零实数，则下列四个命题都成立：

①②③若，则

④若，则．则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的序号是．

11. 难度：中等

若复数满足且，则__________．

12. 难度：困难

设线段，动点在以为直径的半圆周上运动，延长至点，使得（常数），则点所描出的曲线长度为__________．

二、单选题

13. 难度：简单

已知集合，，则的元素个数（    ）

A. B. C. D.无限

14. 难度：简单

设是一平面，是一直线，直线，则“”是“”的（    ）条件.

A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既不充分也不必要

15. 难度：中等

在正方体中，如果动点在线段上，动点在正方体的四条边上，那么，对于任何一条直线，在平面上，总存在相应的一条直线，使得该直线与直线（    ）

A.平行 B.异面 C.相交 D.垂直

16. 难度：困难

设常数，甲、乙两个同学对问题“已知关于的一元二次方程的两个复数根为，若，求实数的值”提出各自的一个猜测.（    ）

甲说：“对于任意一组的值，的不同值最多有个”；

乙说：“存在一组的值，使得的不同值恰有个”

A.甲的猜测正确，乙的猜测错误 B.甲的猜测错误，乙的猜测正确

C.甲、乙的猜测都正确 D.甲、乙的猜测都错误

三、解答题

17. 难度：简单

复数是方程的两个不同根，，，其中是虚数单位.

（1）求的值：

（2）若，求实数的值.

18. 难度：简单

已知长方体.

（1）求证：平面

（2）若，，求和平面的距离.

19. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点的坐标为，抛物线的方程为，过作动直线交抛物线于两点，设线段的中点为.

（1）若与重合，求直线的方程；

（2）求直线的斜率的取值范围.

20. 难度：中等

如图，在四边形中，，，，与交于点，若平面，.

（1）求证：；

（2）求二面角的大小；

（3）求异面直线所成的角的大小.

21. 难度：中等

设常数，已知复数，和，其中均为实数，为虚数单位，且对于任意复数，有，将作为点的坐标，作为点的坐标，通过关系式，可以看作是坐标平面上点的一个变换，它将平面上的点变到这个平面上的点.

（1）分别写出和用表示的关系式；

（2）设，当点在圆上移动时，求证：点经该变换后得到的点落在一个圆上，并求出该圆的方程；

（3）求证：对于任意的常数，总存在曲线，使得当点在上移动时，点经这个变换后得到的点的轨迹是二次函数的图像，并写出对于正常数，满足条件的曲线的方程.