河北省唐山市2019-2020学年高三上学期期末数学理科试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：中等

图（）是某品牌汽车年月销量统计图，图（）是该品牌汽车月销量占所属汽车公司当月总销量的份额统计图，则下列说法错误的是（    ）

A.该品牌汽车年全年销量中，月份月销量最多

B.该品牌汽车年上半年的销售淡季是月份，下半年的销售淡季是月份

C.年该品牌汽车所属公司月份的汽车销量比月份多

D.该品牌汽车年下半年月销量相对于上半年，波动性小，变化较平稳

4. 难度：中等

已知，则满足的的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

的展开式中，含项的系数为40，则（    ）

A. B. C.2 D.－2

6. 难度：中等

如图为函数的部分图象，将其向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则可以表示为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

圆：与抛物线：交于，两点，与的准线交于，两点，若四边形为矩形，则该矩形的面积为（    ）

A.2 B.4 C.8 D.16

8. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，小正方形的边长为1，则这个几何体的表面积是（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

若，则（    ）

A. B. C.或 D.或

10. 难度：中等

在平行四边形中，，分别为边，的中点，与相交于点，则（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

双曲线（，）的左，右焦点分别为，，渐近线上存在一点，使得为直角，交双曲线于点，若，则该双曲线的离心率为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

已知直线与曲线和分别相切于点，.有以下命题：①（为原点）；②；③当时，，则正确命题的个数为（    ）

A.0 B.1 C.2 D.3

二、填空题

13. 难度：简单

已知函数满足，则______.

14. 难度：简单

学校在周一至周五的5天中安排2天分别进行甲、乙两项不同的活动，若安排的2天不相邻且甲活动不能安排在周一，则不同的安排方式有______种.

15. 难度：中等

在中，角，，的对边分别为，，.，，，则______.

16. 难度：中等

在正方体中，，分别为，的中点，有以下命题：

①平面；②；③平面平面，

则正确命题的序号为______.

三、解答题

17. 难度：简单

已知数列的前项和.

（1）求的通项公式；

（2）记，求的前项和.

18. 难度：中等

如图，是一个三棱锥，是圆的直径，是圆上的点，垂直圆所在的平面，，分别是棱，的中点.

（1）求证：平面；

（2）若二面角是，，求与平面所成角的正弦值.

19. 难度：中等

河北省高考综合改革从2018年秋季入学的高一年级学生开始实施，新高考将实行“3+1+2”模式，其中3表示语文、数学、外语三科必选，1表示从物理、历史两科中选择一科，2表示从化学、生物、政治、地理四科中选择两科.某校2018级入学的高一学生选科情况如下表：

选科组合	物化生	物化政	物化地	物生政	物生地	物政地	史政地	史政化	史生政	史地化	史地生	史化生	合计
男	130	45	55	30	25	15	30	10	40	10	15	20	425
女	100	45	50	35	35	35	40	20	55	15	25	20	475
合计	230	90	105	65	60	50	70	30	95	25	40	40	900

（1）完成下面的列联表，并判断是否在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与学生的性别有关”？

（2）以频率估计概率，从该校2018级高一学生中随机抽取3名同学，设这三名同学中选择物理的人数为，求的分布列和数学期望.

	选择物理	不选择物理	合计
男			425
女			475
合计			900

附表及公式：

	0.150	0.100	0.050	0.010
	2.072	2.706	3.841	6.635

20. 难度：中等

已知椭圆：的离心率为，为椭圆上一点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线交椭圆于，两点，直线与直线相交于点，求证：直线，，的斜率成等差数列.

21. 难度：困难

设函数.

（1）讨论在上的单调性；

（2）证明：在上有三个零点.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，圆，直线.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求圆和直线的极坐标方程；

（2）设、分别为圆和直线上的点，且满足，设，求的最小值.

23. 难度：中等

已知、、、是正实数，且，.

（1）证明：；

（2）当为何值时，取得最大值？