2017届上海市徐汇区高三上学期学习能力诊断（一模）数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

____________.

2. 难度：简单

已知抛物线C的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x轴上，若C经过点，则其焦点到准线的距离为________.

3. 难度：简单

若线性方程组的增广矩阵为,解为,则_______.

4. 难度：简单

已知复数满足（为虚数单位），则的值为____．

5. 难度：简单

在的二项展开式中第四项的系数是____________.（结果用数值表示）

6. 难度：简单

在长方体中，若，，则异面直线与所成角的大小为______.

7. 难度：中等

若函数的值域为则实数的取值范围是________.

8. 难度：中等

如图：在中，若，，，则__________．

9. 难度：简单

定义在上的偶函数，当时，，则在上的零点个数为___________个.

10. 难度：简单

将6辆不同的小汽车和2辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某8个内，其中2辆卡车必须停在与的位置，那么不同的停车位置安排共有____________种？（结果用数值表示）

11. 难度：中等

已知数列是首项为1,公差为的等差数列,其前项和为设若数列是递减数列,则的取值范围是__________.

12. 难度：中等

若使集合中的元素个数最少，则实数的取值范围是_______________.

二、单选题

13. 难度：简单

“x＝kπ＋（k∈Z）”是“tanx＝1”成立的

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

14. 难度：简单

若是关于x的实系数方程的一个虚数根，则（    ）

A.， B.， C.， D.，

15. 难度：中等

已知函数为上的单调函数，是它的反函数，点和点均在函数的图像上，则不等式的解集为（    ）

A. B. C. D.

16. 难度：中等

如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上任意一点，给出下列三个判断：

①到、、、四点的距离之和为定值；

②曲线关于直线、均对称；

③曲线所围区域面积必小于．

上述判断中正确命题的个数为（   　）

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

三、解答题

17. 难度：中等

如图，已知平面，，，，是的中点.

（1）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）求绕直线旋转一周所构成的旋转体的体积（结果保留）.

18. 难度：中等

已知函数．

（1）当时，求的值域；

（2）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，求的面积．

19. 难度：简单

某创业团队拟生产两种产品，根据市场预测，产品的利润与投资额成正比（如图1），产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2).(注: 利润与投资额的单位均为万元)

（注：利润与投资额的单位均为万元）

(1)分別将两种产品的利润、表示为投资额的函数；

(2)该团队已筹集到10 万元资金，并打算全部投入两种产品的生产，问:当产品的投资额为多少万元时，生产两种产品能获得最大利润，最大利润为多少?

20. 难度：困难

如图:双曲线:的左、右焦点分别为,,过作直线交轴于点.

(1)当直线平行于的一条渐近线时,求点到直线的距离;

(2)当直线的斜率为时,在的右支上是否存在点,满足？若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由;

(3)若直线与交于不同两点、,且上存在一点,满足(其中为坐标原点),求直线的方程.

21. 难度：困难

正数数列、满足：≥，且对一切k≥2，k，是与的等差中项，是与的等比中项．

（1）若，，求，的值；

（2）求证：是等差数列的充要条件是为常数数列；

（3）记，当n≥2(n)时，指出与的大小关系并说明理由．