2020届安徽省联盟上学期高三期末考试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知是虚数单位，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

若，则（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

在内部任取一点，使得的面积与的面积的比值大于的概率为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

在等比数列中，，前三项和，则公比（    ）

A.－1或 B.－1或 C.1或 D.1或

6. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，输出的结果为（    ）

A.－2 B.－1 C.2 D.3

7. 难度：简单

水车是一种利用水流动力进行灌溉的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个水车的示意图，已知水车逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒，半径为3米，水车中心（即圆心）距水面1.5米.若以水面为轴，圆心到水面的垂线为轴建立直角坐标系，水车的一个水斗从出水面点处开始计时，经过秒后转到点的位置，则点到水面的距离与时间的函数关系式为（    ）

A. B.

C. D.

8. 难度：简单

设，，，则（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，记载了我国古代早期思想文化发展史上政治军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多文学作品中，占据相当重要的位置.学校古典研读社的三名社团学生，到学校图书馆借了一套五经书籍共5本进行研读，若每人至少分一本，则5本书的分配方案种数是（    ）

A.360 B.240 C.150 D.90

10. 难度：简单

如图所示是一位学生设计的奖杯模型，奖杯底托为空心的正四面体，且挖去的空心部分是恰好与四面体四个面都相切的球；顶部为球，其直径与正四面体的棱长相等，若这样设计奖杯，则球与球的半径之比（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知圆：，直线：与轴，轴分别交于，两点.设圆上任意一点到直线的距离为，若取最大值时，的面积（    ）

A. B.8 C.6 D.

12. 难度：中等

已知函数（），若不等式仅有两个整数解，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知向量，满足，，若，则与的夹角为______.

14. 难度：简单

一百馒头，一百和尚，大和尚每人每餐个馒头，小和尚每餐每人吃个馒头.若大和尚的人数用表示，则______.

15. 难度：简单

已知双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过右支上一点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若的最小值为，则双曲线的离心率为______.

16. 难度：中等

已知数列的前项和满足：（），则数列中最大项等于______.

三、解答题

17. 难度：简单

已知数列的前项和，满足，.

（1）求证：数列为等比数列；

（2）若，求数列的前项和.

18. 难度：中等

在中，角，，的对边分别为，，，满足.

（1）求的值；

（2）若，则的面积的最大值.

19. 难度：中等

如图，多面体中，平面平面，，四边形为平行四边形.

（1）证明：；

（2）若，求二面角的余弦值.

20. 难度：中等

已知椭圆：（）的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过焦点的直线与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，满足，求直线的方程.

21. 难度：简单

为了鼓励职员工作热情，某公司对每位职员一年来的工作业绩按月进行考评打分；年终按照职员的月平均值评选公司最佳职员并给予相应奖励.已知职员一年来的工作业绩分数的茎叶图如图所示：

（1）根据职员的业绩茎叶图求出他这一年的工作业绩的中位数和平均数；

（2）若记职员的工作业绩的月平均数为.

①已知该公司还有6位职员的业绩在100以上，分别是，，，，，，在这6人的业绩里随机抽取2个数据，求恰有1个数据满足（其中）的概率；

②由于职员的业绩高，被公司评为年度最佳职员，在公司年会上通过抽奖形式领取奖金.公司准备了9张卡片，其中有1张卡片上标注奖金为6千元，4张卡片的奖金为4千元，另外4张的奖金为2千元.规则是：获奖职员需要从9张卡片中随机抽出3张，这3张卡片上的金额数之和就是该职员所得奖金.记职员获得的奖金为（千元），求的分布列和期望.

22. 难度：困难

已知函数.其中.

（1）讨论函数的单调性；

（2）函数在处存在极值－1，且时，恒成立，求实数的最大整数.